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二人ゼロ和ゲーム。

まず手始めに、頭の体操として次のパズル(二人ゼロ和ゲーム)を解いてみて下さい。ここから「ゲーム理論」が始まります。

ルール１　　行を選ぶ人(プレーヤーI、行プレーヤー)は戦略a1、a2、a3の中から選び、 列を選ぶ人(プレーヤーII、列プレーヤー)は戦略b1、b2、b3の中から選ぶ。
ルール２　　２人のプレーヤーは互いに相手の戦略を知らず、同時に選ぶ。
ルール３　　数字は行プレーヤーの利得額、列プレーヤーの支払額(ゼロ和の仮定)。　
ルール４　　行プレーヤーは利得額の最大化、列プレーヤーは支払額の最小化を目的とする。

注) この表を「利得行列」といいます。

問　　それぞれのプレーヤーの最適戦略はそれぞれ３通りのうちのどれですか。つまり皆さんが行プレーヤーならどれを選びますか。また、列プレーヤーならどれを選びますか。

答　　必ずとはいえないが、しばしば自分にとっての最適戦略は、たがいに、相手戦略に対しても最適になっている。そうなればここからは動かない「均衡」が生まれる。

行プレーヤーの最適戦略　：　a3　（マクスミン戦略）
列プレーヤーの最適戦略　：　b3　（ミニマクス戦略）
ナッシュ均衡点　：　(a3, b3)　（互いに相手戦略に対して最適になっている）
均衡利得　：　1

以前 再三ブログで紹介した「囚人のジレンマ」は、「非ゼロ和ゲーム」の代表例です。

ゲーム理論は、20世紀半ばに確立された数学の一分野です。目的を持つ複数の主体が、定式化された制約条件下で戦略を持ち それぞれの目的達成に向けて行動する状況での個々の主体や集団としての振る舞いについて研究する学問です。ゲーム理論の分析の対象となるのは 次のような状況です。

• 複数の行為主体が存在する。
• 各行為主体は、各自の目的を持つ。
• 各行為主体の行動は、状況や他の行為主体に影響を与える

ゲーム理論の研究の目的として、次のようなものがあります。

• 特定の行為主体の最適戦略決定
• そのゲームのダイナミクスの解析

ゲーム理論では各主体や集団、その状態、その状態遷移、その戦略、その目的、そのルールとしての制約条件が数学的に記述されることが要求されます。 このような条件を満たす身近な例として、将棋やチェスなどのようなゲームがあり、ゲーム理論の名もこれに由来します。また 経済活動などにもそのルールを定式化することで適用可能です。

ゲーム理論は純粋数学としての解析的研究に留まらず、工学の各種分野で幅広く応用されています。 とりわけ情報工学での応用が盛んであり、次世代通信ネットワークトポロジー構築アルゴリズムへの貢献が期待されているのです。

ゲーム理論は経済学、経営学、心理学、社会学、政治学など社会科学への応用も多く見られ、特に経済学において大きな成功をおさめています。ゲーム理論を駆使することでノーベル経済学賞を受賞した学者は少なくないのです。

数学は浮世離れした学問では無い事を認識して下さい。不肖 私目は社会人になってから私費で通信教育を受け OR(Operations Reserch）を習得しましたが、ゲーム理論もカリキュラムに入って居りました。まあ その程度のものです。