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きらめき星の世界

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2007.01.12
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カテゴリ:アート

カテゴリはアートなのにタイトルは数学。逆でもいいんですけど。
面白いじゃないですか。。

年末はうりゃーっと「エルミタージュ美術館展」と「ダリ展」と「エッシャー展」に行って参りました。どれも混み過ぎです。なんで美術館入るのに並ばなあかんのだ。なんで入った後も絵を見るのにみんな並んでるんだ。。というわけで列すっとばして勝手に割り込んでました。すいません。

ダリは、へんちくりんなことをやっているというイメージしかなかったんですが、ちゃんと見ていると意外に真面目だったのかなーと思いました。

エッシャーは、数学者になってもよかったんじゃないでしょうかー。正則分割、家に帰って自分でも少し考えてしまいました。。中学時代の一時期、全ての授業は落書きにささげられていました。(誇張?)  しかも描いていたのは趣味のよい絵画なんかではなくて、ひたすらフラクタル図形描いたり、素数を2から順に書いてったり、・・・(これ以上はとても書けません!)

esch2.jpgtfhg.JPG

「滝」という作品ですけどこれ「ロジャー・ペンローズの三角形」と呼ばれる不可能図形です。

mnol.JPG

「円の極限1」という作品ですがこれ「ポアンカレ・ディスク」と呼ばれる多様体の一種です。ちなみにペンローズもポアンカレも有名な数学者の名前です。

我々の住んでいるこの世界はユークリッド幾何学という数学体系に従っていますが、「円の極限」の世界は非ユークリッド幾何学と呼ばれる別の数学体系に属する、現実にはない世界です。

これ以上詳しく書く能力はないので、もーし興味がある方は以下のサイトが充実して書かれていました。参考までに。
http://homepage2.nifty.com/fermata/makepk01.html

 

さらにちなみにこういう相似形を見るとすぐフラクタルを思い出します。落書きで描いてたし・・。その特徴は自己相似性と言われます。自分の中のある部分を拡大すると、元の自分と全く同じものが現れてくる。これが無限に続くのです。

誰でも作れる簡単フラクタル図形講座~コッホ曲線
以下の要領でひたすらひたすら書いて(描いて?)ください。。腕が痛くならない程度に・・。

Koch_curve_%28L-system_construction%29.jpg

~シェルピンスキー・ギャスケット
以下の要領でひたすらひたすらとにかくひたすら描いてください。腕が折れない程度に・・。笑

io.JPG

フラクタル図形には変わった性質があります。(この辺は自己満足ですのでどうぞ読み飛ばしてください)
上のコッホ曲線、文字通り曲「線」ですから1次元のはずです。(面は2次元、立方体は3次元) でもこれ、1次元ではありません。

一般に、
1次元では図形(線)を2倍に拡大すると、長さは2倍になる。

2次元では図形(面)を2倍に拡大すると、面積は2の2乗(=4)倍になる。

3次元では図形(立方体)を2倍に拡大すると、体積は2の3乗(=8)倍になる。

ということで、N次元では図形をX倍に拡大すると、その大きさはY倍になる。↓

Y = XのN乗

コッホ曲線の場合、図形(曲線)を3倍に拡大すると長さは4倍になります。上の式に当てはめるなら、この曲線の次元数Nは、

N = log Y / log X

より1.26・・・となるのです!整数じゃありません。線でもなく面でもない、それがコッホ曲線です。この曲線は計算すると全長が無限大に発散します。なので1次元に収まりきらなくなっちゃったんでしょうねえ・・。ちなみにシェルピンスキー・ギャスケットの方は1.58・・・次元となります。

こんな話現実と何も関係も、なくもないんですねー。よく言われる例として、海の海岸線の長さがあります。海岸線の長さを求めるとき、大雑把に適当に測っていったときと、非常に緻密に何m、何cmの細かさで測ったときとでは計算結果が異なるのは予想が着くと思います。ではもっともっと細かく測っていったら?どこまででも海岸線の距離は大きくなっていくでしょう。これもフラクタル図形の一種なのです。山の稜線なんかもそうでしょう。今のコンピュータグラフィックスはそういうものを数値的に評価して描画しているんだと思います。

よく知りませんが、穏やかな砂浜は1.13・・・次元くらいで荒々しいリアス式海岸は1.76・・・次元だったりするのでしょうか。

自己満足も大体満たされたので、この辺でやめにしておきます。
新年早々マニアックネタでした。。ではまた次回♪

esch1.jpg






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Last updated  2007.01.13 01:04:14
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