きらめき星の世界

前回の続きで、

色々な無限級数がどのように円周率πの値に収束していくのか計算してみました。。

ちなみに

π=3.14159265358979323846264338427950288・・・

です。

まず、見た目が一番シンプルかつ美しいこの級数

第n項まで計算して4倍した値をQ(n)とし、以下に並べました。

Q(1)=2.666666・・・
Q(2)=3.466666・・・
Q(3)=2.895238・・・
Q(4)=3.339682・・・
Q(5)=2.976046・・・

Q(10)=3.232315・・・

Q(50)=3.161198・・・

Q(100)=3.151493・・・

Q(1000)=3.142591・・・

Q(10000)=3.141692・・・

Q(10000000)=3.1415927・・・

とまあ1千万までやってようやく小数点以下6桁まで一致するというふうにこの級数は非常に収束が遅いです・・。

次に、

第n項までの計算結果を2倍した値をR(n)とします。

R(1)=2.666666・・・
R(2)=2.844444・・・
R(3)=2.925714・・・
R(4)=2.972154・・・
R(5)=3.002175・・・

R(10)=3.074055・・・

R(50)=3.126379・・・

R(100)=3.133864・・・

R(1000)=3.140808・・・

R(10000)=3.141514・・・

R(10000000)=3.14159257・・・

とこちらも大して変わりませんね。円周率を計算するのにこれでは時間がかかりすぎてしまう。。

では、例のラマヌジャンの発見した式

を試してみましょう。

第n項まで計算した結果の逆数をとったものをP(n)とします。

P(1)=3.14159273・・・

といきなり小数第6桁まで一致しています。

P(2)=3.14159265358979・・・

次ではもう14桁まで一致します。というか使用したソフトウェアが小数点14桁までしか表示できなかったのでこの先も合ってるのかもしれないんですが、とにかくあっという間に円周率の値に収束していくことがわかります。項数を1つ増やすごとにおよそ8桁ずつ精度が上がっていくそうです。

ということで、話が落ちてないけどこの辺で・・。また色々勉強してみます♪