超越数 (129回目)
このところ、シンプルに写真だけを貼って、言葉も少なめで、とても統一されてきれいなページになっていましたが、今日は暴走します。爆 数で埋めつくしてやるーーー。別にストレスがたまっているわけではありません。。 数のお話。 世の中にはいろんな数があります。 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ・・・これは自然数と呼ばれます。普段最も自然によく使う数ですね。 少し数の範囲を広げてみましょう。 ・・・, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ・・・これは整数です。自然数に0と負の数を足しました。これもなじみがあるものばかりですね。 まだまだ色んな数があります。 1/5, 22/7, -3/8, 20/4, ・・・分数で表せる数のことを有理数と呼びます。整数はみな分数で表せますから（ 例. 8 = 8/1 ） 有理数はすべての整数を含みます。（もちろん自然数も！） 数はもうこれで全部でしょうか。いえ、まだまだあります。 √2, 3√5, log23, π, e, ・・・これらは無理数と呼ばれます。分数で表せない数です。 有理数と無理数をあわせて実数と呼び、これが自然界で目にするすべての数となります。（現実にはない数、虚数iを含めたものは複素数と呼ばれますがここでは書きません） これらの数の集合を表す記号として、自然数N, 整数Z, 有理数Q, 実数Rが使われます。 （この辺から暴走）（ただし、現在勉強中なので誤りもあるかと）有理数までは2つの整数を用いて分数で表せますし、小数で書き表してもきちんと割り切れるか、または循環小数で表すことができます。しかし、無理数の場合小数で書こうとすると0～9の数字が不規則に永遠に出てくるので完全に書き下すことができません。例. 1/11 = 0.090909090909・・・（09のくり返し）√2 = 1.4142135623730950488016887・・・さらに無理数は代数的無理数と超越数に分けられます。代数的無理数は下式のような代数方程式の解となりうる無理数のことです。√2などはこちらになります。しかし、そうした方程式の解にもなりえないものは超越数と呼ばれ、いまだにその全貌がわかっていません。 anxn + an-1xn-1 + ・・・ + a0 = 0 eとπを除けば普段目にすることはほとんどないのだし、別に気にしなくてもいいのではと思うかもしれませんが、実際のところ超越数の方が他の実数より数が多いのです。（間違ってるかも）まあ、一桁には10通りの数があるわけで、数の「数」は10×10×10×10×・・・であっという間に頭の中が飽和する位たくさんあるのだから確かにそんな気もします。 しかし、現在わかっている超越数は限られたものです。（前にもちょっと書きました↓）http://plaza.rakuten.co.jp/kirameita/diary/200708060000/円周率πや自然対数（ネピア数）eのほかにもいくつか知られています。 1844年、最初に見つかった超越数はLiouville（リウヴィル）数と呼ばれるものです。（∑10-k! = 10-1 + 10-2 + 10-6 + 10-24 + ・・・） 無理数と有理数の差を議論するさいに無理数度μというものが使われますが、Liouville数の無理数度は∞だそうです・・。ちなみに円周率πは8.0161以下（以下って！）だそうです。 他にもこんな変わった超越数もあります。 自然数を小数点以下にどんどん並べていったもの・・・チャンパノウン数0.12345678910111213141516・・・とか2のべき乗を並べた0.2481632641282565121024・・・ とか log23, 2√2, eπなども超越数として知られています。 超越数は方程式の解としても求められないし、そもそも数字を書き下せないので非常に取り扱いが困難です。紀元前2000頃にはすでに知られていた円周率π（超越性の証明は19世紀）を巡っては、昔から多くの人が、実用的な、はたまた学問的な動機から何とかうまい求め方、表し方はないものかと知恵を絞ってきました。これまでにπを表す様々な式が見つかっています。 不等式で値を近似したものとしては、22/7, 256/81, 355/113がよく知られています。日常的には22/7で十分ですが、天気予報や人工衛星の軌道計算など正確性が求められる場合は355/113を使うようです。 また、無限級数を用いた表現としては、1910年にインドの数学者ラマヌジャンが発見したなんていう見た目凄まじい展開式もあります。収束が早い。現在はこうした無限級数式をスーパーコンピュータで計算して1兆桁くらいまでわかってます。 また、どこか不思議な関係式も・・・奇数次の分数だけ足したり引いたりしてるだけでなんで円周率が出てくるんだ・・。この式は14世紀にインドで発見されています。 とか、なんかも。 ふう、疲れた。中途半端な終わり方で申し訳ないです。。数って不思議だなあーと改めて思うようになって、もっと深く勉強したくなりました。理解が進んだらもう一回書くかもしれません。ではでは、今日はこの辺で・・・
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