基本に忠実に本質を伝える

解法編です。

中学受験向けだとこんなエレガントな解法があります。

おしゃれな解法

こんなおしゃれな解法はできませんでした。どろどろです。



半径1の円に内接する正12角形を考えました。
この円の円周は2πです。



従って加法定理より、
cos75度＝cos30度cos45度-sin30度sin45度
　　　 ＝√3/2×√2/2-1/2×√2/2

内接する正12角形の外周の長さは
　　12×2×（√3/2×√2/2-1/2×√2/2）
　　＝6×（√6-√2）

ここで近似値を求めると　
　　　≒6×（2.449-1.414）
　　　≒2×3.10・・・

円に内接する多角形の外周の長さはその円よりも小さいので
　　　π＞3.10・・・

従ってπは3.05よりも大きい。

内接する正六角形を考えたら、円周率は3よりも大きいことは求められます。同様に外接する正六角形を考えると

　　2/√3×6＝4√3≒2×3.46・・・
　　
　なので、3.5よりも小さいことが証明できます。
　外接する正多角形の辺の数を増やせば、精度は上がります。

　中学生向けにはcos75度の値を教えておいて平方根の計算に持ち込むのもありかと。
　或いは相似から辺の長さの比を出すのもありですね。
　
　最初にお伝えしたサイトにはもっとエレガントな解法があります。

まあ、数学苦手な人間が考えるとこんなもの、ということで。