​Why Bitcoin is Inherently Predictable
ビットコインが本質的に予測可能な理由​

Giovanni Santostasi
ジョバンニ・サントスタージ

Aug 11, 2024
2024 年 8 月 11 日

​Introduction
はじめに​

In the world of finance, predictability is often considered an elusive trait, in fact, an entire fundamental financial theory, the Market Efficiency Hypothesis claims that markets are unpredictable and any observed inefficiency is immediately exploited and canceled out by
market forces. Yet, amidst this apparent chaos, Bitcoin — the world’s first and most prominent cryptocurrency — has exhibited a remarkable degree of predictability. This predictability stems from an underlying mathematical concept known as a power law, which has consistently explained Bitcoin’s behavior over the past 15 years, spanning eight orders of magnitude. In
addition, Bitcoin demonstrates cyclic periodicity with extremely high precision in comparison with traditional assets, where seasonality, if present is weak and not consistent. Both the long-term behavior and its consistent seasonality make Bitcoin inherently predictable.
金融の世界では、予測可能性はしばしばとらえどころのない特性と考えられており、実際には、全体の基本的な金融理論であり、市場効率仮説は、市場は予測不可能であり、観察された非効率性は市場力によってすぐに利用され、相殺されると主張しています。しかし、この明らかな混乱の中で、ビットコイン(世界初で最も著名な暗号通貨)は、驚くべき予測可能性を示しています。この予測可能性は、べき乗則として知られる基本的な数学的概念に由来し、過去15年間にわたるビットコインの動作を一貫して説明してきました。さらに、ビットコインは、季節性が存在する場合に弱く一貫性がない従来の資産と比較して、非常に高い精度で循環的な周期性を示しています。長期的な行動とその一貫した季節性の両方が、ビットコインを本質的に予測可能にします。

Understanding Power Laws　
べき乗則を理解する

A power law is a mathematical relationship where one quantity varies as a power of another:
べき乗則とは、ある量が別の量の累乗として変化する数学的関係です。

y = C ⋅ xᵐ

• y and x are the variables.
  y と x は変数。

• C is a constant that scales the relationship.
  C は、関係を拡大縮小する定数。

• m is the exponent. Unlike other relationships that may only apply within a specific range, power laws are scale invariant. This means that the relationship holds true across different scales, whether we examine small or large values. For Bitcoin, this implies that the growth patterns observed in the early years can be extrapolated to much larger
  scales, providing a robust framework for understanding its future trajectory.
  m は指数です。特定の範囲内でのみ適用される他の関係とは異なり、べき乗則はスケール不変です。これは、小さな値を調べるか大きい値を調べるかに関係なく、関係がさまざまな規模で当てはまることを意味します。ビットコインの場合、これは、初期に観察された成長パターンをはるかに大きな規模に外挿できることを意味し、将来の軌道を理解するための堅牢なフレームワークを提供。

​The Power Law in Bitcoin
ビットコインのべき乗則​

Since its inception in 2009, Bitcoin’s price has followed a power law. This is evident in the logarithmic plots of Bitcoin’s price against time, which show a straight line — indicative of a
power law relationship. Over the course of 15 years, Bitcoin’s price has grown in a precise mathematical fashion, adhering to this power law over eight orders of magnitude.
2009年の開始以来、ビットコインの価格はべき乗則に従ってきました。これは、ビットコインの価格の時間に対する対数プロットで明らかであり、直線を示しています—べき乗則の関係を示しています。15年間で、ビットコインの価格は正確な数学的方法で成長し、8桁のオーダー以上で、このべき乗則に従ってきました。

This consistency is not merely a coincidence; it suggests that there are underlying mechanisms driving Bitcoin’s growth in a predictable manner.
この一貫性は単なる偶然ではありません。これは、予測可能な方法でビットコインの成長を推進する基本的なメカニズムがあることを示唆しています。

These mechanisms could include network effects, adoption rates, and feedback loops of all kinds, all of which contribute to its price behavior over time. We already wrote on both these
subjects:
これらのメカニズムには、ネットワーク効果、採用率、あらゆる種類のフィードバックループが含まれる可能性があり、これらはすべて、時間の経過とともに価格の振舞いに寄与します。これらの主題については下記にすでに書きました。

How we can derive the main power laws via modeling Bitcoin as a network:
ビットコインをネットワークとしてモデル化することにより、主要なべき乗則を導き出す方法:

https://bitposeidon.com/the-power-law-theory/f/modeling-bitcoin-growth-with-network-theory

The Power Law Theory is a full fledge Theory of Bitcoin that shows the causative links of all the different on-chain parameters:
べき乗則理論は、すべての異なるオンチェーンパラメータの因果関係を示すビットコインの本格的な理論です。

https://bitposeidon.com/the-power-law-theory/f/introduction-to-the-theory?blogcategory=Bitcoin+Power+Law+Theory

​Scale Invariance and Predictability
規模の不変性と予測可能性​

The concept of scale invariance is crucial to understanding why Bitcoin’s adherence to a power law makes it inherently predictable. In a scale-invariant system, the same rules apply at every scale.
規模不変性の概念は、ビットコインがべき乗則に準拠しているため、本質的に予測可能になる理由を理解するために重要です。規模不変システムでは、すべての規模で同じルールが適用されます。

Let’s analyze this more specifically. Let’s look at the example below. We see the power law. The purple line is the usual long-term relationship. The wavy line is a full model where we add to the general trend also periodic oscillations and even decay of the observed tops. Let’s focus mainly on the general trend or purple line.
これをより具体的に分析してみましょう。以下の例を見てみましょう。私たちはべき乗の法則を見ます。紫色の線は、通常の長期的な関係です。波線は、一般的な傾向に周期的な振動や観測されたトップの減衰も加える完全なモデルです。主に一般的なトレンドや紫の線に焦点を当てましょう。

The graph presented is a powerful visual representation of Bitcoin’s price behavior over time. What immediately stands out is the triangular pattern formed by the price movements when plotted on a logarithmic scale. This pattern is a hallmark of proportionality (changes the
size of a triangle leaves everything proportional).
提示されたグラフは、時間の経過に伴うビットコインの価格行動を強力に視覚的に表現しています。すぐに目立つのは、対数スケールでプロットしたときに価格変動によって形成される三角形のパターンです。このパターンは比例性の特徴です(三角形のサイズを変更すると、すべてが比例します)。

In the context of this graph, the straight line on a log-log plot signifies that the price of Bitcoin has increased proportionally with time. However, this increase is not linear in the traditional sense. Instead, the line represents a relationship where the scale of the price (y-axis) changes in proportion to the scale of time (x-axis). This is the essence of a power law, where one variable varies as the power of another.
このグラフのコンテキストでは、ログログプロットの直線は、ビットコインの価格が時間とともに比例して上昇したことを示しています。ただし、この増加は従来の意味では直線的ではありません。代わりに、線は、価格の目盛り (y 軸) が時間の目盛り (x 軸) に比例して変化する関係を表します。これがべき乗則の本質であり、1つの変数が別の変数の累乗として変化します。

Scale Invariance and Predictability
規模の不変性と予測可能性

Scale invariance is a key concept in understanding why Bitcoin’s behavior might be predictable. In a scale-invariant system, changes in one dimension (like time) require proportional changes in another dimension (like price) to maintain the same relationship. This means that, as time progresses, the system “scales up” in a predictable way. For Bitcoin, this has been evident in the way its price has grown over the years, following a consistent pattern that spans several orders of magnitude.
規模不変性は、ビットコインの動作が予測可能である理由を理解するための重要な概念です。規模不変システムでは、1 つの次元 (時間など) の変化は、同じ関係を維持するために別の次元 (価格など) の比例的な変化を必要とします。これは、時間が経つにつれて、システムが予測可能な方法で「規模が拡大」することを意味します。ビットコインの場合、これは、数桁にわたる一貫したパターンに従って、その価格が長年にわたって成長してきた方法で明らかです。

Because the graph shows that Bitcoin’s price has followed this power law relationship so consistently over time, it provides a strong basis for hypothesizing that this behavior will continue in the future. The straight line in the graph isn’t just an arbitrary fit; it’s a reflection of the underlying scale-invariant nature of the system. This scale invariance implies that the same rules that governed Bitcoin’s growth in the past will likely continue to apply, even as the system scales up to new magnitudes.
このグラフは、ビットコインの価格が時間の経過とともにこのべき乗則の関係に非常に一貫して従っていることを示しているため、この動作が将来も続くと仮定するための強力な根拠を提供します。グラフの直線は、単に任意の近似ではありません。これは、システムの根底にある規模不変の性質を反映しています。この規模の不変性は、システムが新たな規模に拡大しても、過去にビットコインの成長を支配したのと同じルールが引き続き適用される可能性が高いことを意味します。

The triangular pattern seen in the graph further emphasizes the idea of scale invariance. As Bitcoin’s price has scaled up, the time intervals between significant price movements have also scaled. This is why the graph expands outward in a triangular fashion — each step up in price requires a proportionate step up in time.
グラフに見られる三角形のパターンは、スケール不変性の考え方をさらに強調しています。ビットコインの価格が上昇するにつれて、大幅な価格変動の時間間隔も拡大しています。これが、グラフが三角形に外側に拡大する理由です
— 価格が一段上がるたびに、時間も比例して一段上がる必要があります。

Given that Bitcoin has exhibited this scale-invariant behavior across so many orders of magnitude, it is scientifically reasonable to hypothesize that it will continue to do so. The
fact that Bitcoin has consistently adhered to this pattern over 15 years, despite various market conditions and external factors, strengthens this hypothesis.
ビットコインが非常に多くの桁にわたってこの規模不変の動作を示してきたことを考えると、それが続くと仮定することは科学的に合理的です。ビットコインがさまざまな市場環境や外部要因にもかかわらず、15年以上にわたって一貫してこのパターンに固執してきたという事実は、この仮説を強化します。

I realize that this is a difficult concept to accept, not much in the logic of it that once understood as “everything is proportional” is not that difficult conceptually. What is difficult for many people is to accept that a financial system that comprises of complex interactions by many agents, in many countries, at different times can express itself in such a simple and predictable pattern. But it is a fact. It is an undeniable fact. It is a most striking aspects of Bitcoin’s price behavior that over the years is how well it adheres to a power law — a simple, yet profoundly powerful mathematical relationship.
これは受け入れがたい概念であり、一度「すべてが比例している」と理解された論理は、概念的にそれほど難しくないことを理解しています。多くの人々にとって難しいのは、多くの国で、異なる時期に、多くのエージェントによる複雑な相互作用からなる金融システムが、このように単純で予測可能なパターンで表現できることを受け入れることです。しかし、それは事実です。それは否定できない事実です。ビットコインの価格振舞いの最も顕著な側面は、長年にわたって、単純でありながら非常に強力な数学的関係である、べき乗則にどれだけよく準拠しているかです。

What makes this observation so compelling is not its complexity, but rather its simplicity and clarity. The power law governing Bitcoin’s price is not a theoretical construct or a complex model that requires extensive mathematical gymnastics to understand. Instead, it is an empirical observation, plainly visible to anyone who examines the data.
Many professionals in the field have done so and arrived to the same conclusion. At a minimum, the Bitcoin Power Law is part of the history of Bitcoin and understanding it allows us to understand better what Bitcoin is.
この観察を非常に説得力のあるものにしているのは、その複雑さではなく、むしろその単純さと明快さです。ビットコインの価格を支配する、べき乗則は、理論的な構成物でも、理解するために広範な数学的体操を必要とする複雑なモデルでもありません。むしろ、それは経験的な観察であり、データを調べる人なら誰でもはっきりと見ることができます。この分野の多くの専門家がそうして、同じ結論に達しています。少なくとも、ビットコインのべき乗法則はビットコインの歴史の一部であり、それを理解することで、ビットコインとは何かをよりよく理解することができます。

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