インド出身のある資産家が、貧しく有能な子供たちを支援する学校を創設した話を本で読みました。

スラムに暮らす子供たちにとって、高等教育を受けることは現実的に厳しいので、これは希望の光です。

インドは人口も多いし数字に強い遺伝子が貧富に関わらず多く潜在するんでしょう。





当然ながら応募者全員は面倒見きれないので試験があります。

その一つとしてこんな問題が出されたそうです。


nは素数で、n≧５である。
n² - 1が常に24で割り切れることを証明せよ。


生成AIを使えばたちどころにスマートな回答を出してくれるかもしれませんね。

AIを使わなくてもネットで検索すれば、答えは出てくると思います。

でもこういった答えの分かっている問題は、ゲーム感覚で自分で考えるところが面白いんですよ。

よかったらみなさんも、ここから下はしばらく見ないで答えを考えてみてください。

では、スタート！





素数とは何かをまず知ってないとダメですね。日本では中学で習うようです。

不等号≧は小学校で習うようですが、あまり生活で使いませんから、この記号なんだっけなという人もいるでしょうね。

２乗、３乗といった累乗や平方根も中学のようです。

この学校の受験対象者は中学卒業レベルの学力を持った人ということでしょうね。





中学以上なら因数分解も知っているということです。

n² - 1 = (n + 1)(n - 1) 　　　　　‥‥‥（１）

これが出てこないとなかなか厳しいですが、この方程式はすごいことを言ってるんですよ。

ある数字の前後の数字を掛け合わせると、その数字を２回掛け合わせたものから１を引いたものと同じ。

例えば、７ x ７ - １= 48 = ６ x ８みたいな。

素数に限らずどんな数字でも、です。

因数分解なんて覚えてますか？

(n + 1)(n - 1) = n x n + n x 1 - n x 1 - 1 x 1
= n² - 1

これだけでもすでにへ〜って感じですね。





さて問題に戻ると、素数というのは１かその数以外の数字で割れない数字のことなので、偶数ではないということは分かります。

さらに5以上ということですので以下のような数字になります。


５、７、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、...





先ほどの因数分解の式（１）を見ると、２乗して１を引いた数字は２と４の倍数をかけたものだと分かります。

４つずつ数字を並べてみてください。１か３の列に素数は来るので、その前後の数字が必ず２と４の倍数になってることがわかりますね。

1	2	3	4
​5​	6	​7​	8
9	10	​11​	12
​13​	14	15	16
​17​	18	​19​	20

もう一つ、今度は３つずつ数字を並べてみます。

1	2	3
4	​5​	6
​7​	8	9
10	​11​	12
​13​	14	15
16	​17​	18

３の倍数は素数ではないですから、必ず素数は１か２の列に来ます。つまり、素数の前後どちらかは必ず３の倍数ということになりますね。

因数分解の式（１）のn - 1は前の数字、n + 1は後ろの数字、この２つのどちらかは必ず３の倍数ということです。





まとめると、5以上の素数の前の数字と後ろの数字を掛け合わせると、それは必ず２と４と３の倍数になっていて、つまり24の倍数になっているということになります。

そして、ある数字の前の数字と後ろの数字を掛け合わたものは、その数字を２乗して１を引いた数字と同じです。（１）

ダンスにもいろんな定理があって、それを理解すると応用が効きますね。


＜これまでにご紹介したダンスの法則＞
内回りの定理　
頭の回転の法則　
アウトサイドパートナーの法則　
ダイヤモンドの法則　
圧力一定の法則　
プレパレーションの法則