受験数学って暗記！？(仮)～高校受験・大学受験～

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• 疲労

  疲れた・・・・バタッ！

  2007.02.22

• 移動

  福井校舎から舞鶴校舎へ移動中～ 40km位か…この移動もあと3回。 頑張ろう。

  2007.02.21

• 一段落

  先ほど帰宅．まずは生徒からのメールに返信．その後，携帯でチェックしきれなかったブログをチェック．で・・・既に4時ってか・・・やりたいことは山ほどあるが・・・今日は眠くてあまり出来なさそう．

  2007.02.21

• 

  漸化式～n乗のタイプ～

  漸化式特集の続き．今回は後ろに「n乗」がついてるパターン．ここで「n乗」って書いてるけど，別に「n+1乗」でも「n-2乗」でも構わない．n乗に関連するものならすべて同じパターンだ．それでは次の例題を使って説明する．この「後ろがn乗の形」になっているときの処理方法は決まっている．両辺を 2^{n+1} で割れば前のパターンに変形することができる．また次のような考え方もある．要するに左辺が「n+1に関する式」，右辺が「nに関する式」にすればよい．つまり 5・2^{n-1} を両辺にうまい具合に分けることができれば問題ないということだ．

  2007.02.20

• 数年前に生徒から言われたこと

  数年前に生徒から言われたことがある．「先生って大手の塾には行かないんですか？」大手・・・確かに大手の塾はいいかもしれない．ただそのときの僕には全く自信がなかった．ある時，その生徒が大手の夏期講習を受けると言ったとき正直嫌だった．どうしても比べられるからだ．僕の授業が有名予備校講師がする授業と比べてどれくらいのものなのか・・・？それを知るのが怖かった．夏期講習が終わりその生徒が帰って来た．僕の授業と比べてどうなのかを聞くのが怖かったが聞きたいという気持ちも強かった．迷っても仕方がないので思い切って聞くことにした．結果は・・・「先生の授業とほとんど変わらなかったよ」全然ダメとか言われるのかと思ったが違ったので一安心すると同時に少しだけ僕の中で自信になった．そしてその生徒が卒業するときくらいだったと思うがこんなことを言われた．「先生は出来ない生徒より出来る生徒を教えた方がいいですよ」その当時，確かに僕は出来ない子より出来る子の方が好きだった．しかしいくら出来る子でも素直じゃない子は好きじゃなかった．さらに僕の周りには出来ないけどやる気があるという生徒はいなかった．やる気があると言ってても所詮は言葉だけの奴ばかり．ただ今は昔と違って，出来ない子でもやる気が本当にある子がいることが分かった．そういう子はほんとに何とかしてあげたいという気持ちが強く働く．その生徒はさらにこんなことも言った．「先生の授業は出来る子には良いが，出来ない子には難しいと思う」ある程度レベルに合わせて授業をするが，それを考えても僕は出来る子を教えたほうが良いらしい．今の僕の考えはこうだ．「勉強を真剣に頑張りたいと思う子を教えたい」勉強が出来る出来ないは関係ない．楽しい高校生時代に勉強ばかりしろと言ってるわけじゃない．勉強するときはする．遊ぶときは遊ぶとけじめをつけてれば何の問題もないと思う．塾に来ている以上，成績が上がって当たり前．成績が上がらないのはすべて塾のせい．と普通はなるのだろうが，生徒自信が成績を上げるつもりで塾に来ていないのであれば，成績を上げることなんて絶対不可能だと思う．授業中に私語をするのは当たり前．説明は聞かないし，問題を解くように指示しても解こうとさえしない．それでいて進度が遅い，分からないと文句ばかり．こんな状態ではどう考えても成績なんて上がるはずがない．来るだけ時間の無駄．やる気を上げるのも塾の仕事だとは思うが，素直に人の話を聞かないのは家庭の躾の問題であり，塾に来る以前の問題だと思う．私語をしているのを注意されてそれに反論するのは論外．説明を聞いて分からなければ何回でも説明をします．しっかりやるべきことをやっても成績が上がらなかった場合，お金は要りません．僕が月謝を払います．それくらいの覚悟がなければ塾講師なんて出来ないと思っています．

  2007.02.20

• メールが送信できない理由

  家からは当たり前だけどメールの送受信は出来る．それが塾からだと受信は出来るが送信が出来ない．ウイルス対策ソフトが原因なのかとかメールソフトが原因なのかとか色々考えたけど分からなかったんだけど・・・今日理由が分かった！すべてはプロバイダが原因だった．家はヤフーと契約している．塾はぷららと契約している．このぷららが採用している「Outbound Port25 Blocking」という仕組みが問題だった．「この仕組みによって，プロバイダの送信メールサーバー以外からはメール送信ができないようになり，メールソフトからYahoo!メールの送信ができなくなる場合がある．」とのことだ．解決策がヤフーのヘルプに載っていた．「Submissionポート（メールソフトからのメール送信を受け付けるための専用ポート）の設定を行えば、メールソフトからメールを送信できるようになります．」この設定にもかなり苦労したが，後から思えばめちゃめちゃ簡単だった・・・DION，BIGLOBE，ニフティ，ぷらら，So-netなどが「Outbound Port25 Blocking」という仕組みを採用しているようだ．メールソフトを使っていて受信はできるが，送信はできない方はこの仕組みにひっかかっているかもしれない．

  2007.02.19

• 反比例の変化の割合

  まさとさんからの質問にお答えします．コメントで頂いた質問ですが，結構古い記事へのコメントだったため，記事で回答させていただきます．＜質問内容＞今日、子供に反比例の変化の割合ってあるの？と聞かれました・・・・私としては、一定の割合で変化する物と考えると、あえて考えるなら・・・２次関数のように点と点を直線で結び、その傾きと考えたらいいのかと思う気持ちと、またはとぎれていることと、著しい変化の違いがあることから、変化の割合じたいがないのでは？？？という気持ちがあります。よければ教えてください。＜回答＞僕自身，反比例の変化の割合というものを考えたことがありませんでした．変化の割合は「ｘが増える量に対してｙがどれくらい増えるかを表したもの」と定義されています．反比例の場合，ｘ＜０の部分とｘ＞０の部分にグラフが分かれています．このような場合に変化の割合を考えるなら，ｘ＜０の部分とｘ＞０の部分に分けて考えなければならないと思います．y=1/xにおいてｘが２から５まで変化するときの変化の割合について考えると・・・（ｘの増加量）＝５－２＝３（ｙの増加量）＝1/5-1/2＝-3/10となるため，（変化の割合）＝-3/10÷３＝-1/10 と求めることができます．ｘの変化する範囲がｘ＜０の部分のみ，またはｘ＞０の部分のみならば上記のように計算することができます．しかし，ｘがｘ＜０の部分からｘ＞０の部分へ変化するときの変化の割合は，単に数値だけの計算なら可能ですが，求めた数値に意味はないと思います．しかもｘをｘ＜０の部分からｘ＞０の部分へ少しずつ変化させるとわかりますが，ｙ軸の部分で途切れているため変化させることができません．ということで僕の考えは，ｘ＜０の部分やｘ＞０の部分に分けて考えるなら反比例の変化の割合を考えるのもアリだと思います．

  2007.02.19

• 完成

  明日の授業のプリント完成！かなり遅くなってしまったな・・・というのもたか先生とスカイプで話していたからだ・・・今までは教務のことだけを考えれば良かったのだが，これからは経営についても考えていかないといけない．色々と勉強していこう．

  2007.02.19

• 忘れてた！

  呑気に本を読んでる場合じゃなかった・・・明日の授業で使うプリントを作るのをすっかり忘れていた．ってことで今から作る羽目に・・・頑張るか・・・

  2007.02.19

• 英会話

  数年前英会話を習っていて，そこが主催するパーティーで知り合った外国人と偶然にも本屋さんで出会った．しばらく英語から離れていたが，聞き取りは問題なかった．すべてちゃんと聞き取れた．しかし・・・単語を忘れているため，自分が話したいことがサッと出てこない・・・やっぱ悔しいな・・・英会話を辞めたことも話したが，その人が言うには僕は英会話を習いに行く必要はないらしい．自分で勉強して外国人と話す機会がそこそこあれば僕自身も英会話を習いに行く必要は無いと思っている．大学生の頃，NOVAではないが英会話を習っていた．初めは日本語を話すことが出来る外国人講師だった．個人的には日本語が話せる講師では上達しないと思う．話したいことが英語でどういえばいいか分からないときにすぐ日本語で聞いてしまうからだ．しばらくして新しい講師が来た．彼は僕より2歳上で全く日本語が話せなかった．でも僕にとってはそれが良かった．伝えたいことを英語でどういえばいいか分からなくても，なんとかして伝えないと会話にならない．相手も真剣に僕の言いたいことを理解しようとする．そういうのが良かったのかもしれない．僕の場合，運が良いのかその塾で数学を教える立場でもあったので講師でもあり生徒でもあるという状態だったため，月謝が半額という特典があった．その後友人紹介をしたので，塾長からは月謝は要らないと言われ，しかもすべてのクラスに参加して良いと言われたため，毎日無料で英会話のレッスンに参加できた．その塾は家塾だったので，レッスン後はリビングでコーヒーを飲みながら映画を見ると言うこともできた．レッスン後も講師の時間が空いてれば色々話せるのが良かったのだと思う．毎日英語を聞いているため，聞き取りの力はどんどん伸びていった．ただ，その少し前から自分でもNHKの英会話を録画して勉強していた．テキストもちゃんと買って，1回目はテキストを見ないで見る．2回目は予めテキストを見て内容を把握し，テキスト片手に見る．3回目は1回目と同様テキストを見ないで見る．ということを2年間やっていた．ただそれでも生の英語を聞くのとTVからの英語はやっぱり違う気がする．自分に向かって話しかけられていないからそう思うのかもしれない．それでもそれをやっていたから，まだマシだったのだと思う．無料ということもあり，毎日英会話レッスンに参加した．ほぼすべてのクラスに参加していたと思う．3ヶ月くらいして，夢が英語だった．「英語で夢を見る」と聞いたことがあるが，ほんとだったんだなぁと少し感動した．その頃からはNHKの英会話は辞めてしまったが，その英会話講師と一緒にキャンプに行ったり色々と遊びに行ったのでかなり英会話力は鍛えられたと思う．ほんとに良い経験をしたと思う．卒業後は英会話からしばらく離れていたが，ちょっとしたことがきっかけでまた習うことに．午後は時間がないので，平日の午前中に習っていたが，講習中はそれさえ不可能．ということで講習中は休会扱いにしてもらっていた．ところがある時，休会後に復帰して通いだしたんだが，そこで言われたことに驚いた．「休会中は月謝の半額を貰うことになったので払ってください．」これにはマジでビックリした．予め言われていて，それに僕が了承したなら良いと思う．今までは休会中の月謝は払わなくても良かったのに，突然事後報告で払えってのは納得いかなかった．ただ色々とあるので問題にせずそのお金を払ってすぐ辞めた．突然冷暖房費を取ったり，休会中の月謝を取ったりするとやっぱりかなり印象は悪くなるなぁと思う．料金についてはちゃんと事前に明示する必要があると思う．結局問題となるのは常にお金のこと．何の話か分からなくなってきたな・・・3月からの新会社ではちゃんとしなければ・・・

  2007.02.18

• 車点検中

  質問への回答も終わり、少し時間が遅いがホンダへ行くことにした。 車の6ヶ月点検のハガキが来ていたから。 時間的に無理だと思ったけど、やってくれるとのこと。 良かった♪ 待ってる間、コーヒー飲んで寛いでます。

  2007.02.18

• あと1週間

  今日は高3生から過去問を見て欲しいということで塾に行くことになった．入試まであと1週間．みんな頑張ろう！

  2007.02.18

• 3万アクセス突破！

  いつの間にやら3万アクセス突破してました♪一昨日か昨日突破したと思うんですが，思いっきり見逃してしまった・・・これからも数学ネタを増やしていく予定です．ベストは単元ごとにまとめることが出来ることですが，なかなか難しい・・・少しずつ頑張って書きます．今後ともよろしくお願いしますm(_ _)m

  2007.02.18

• オーストリー？

  今更かもしれないが，「オーストリア」が「オーストラリア」とよく間違えられるので日本語表記を変えたらしい．---------------------- Wikipedia より引用 -------------------------------------2006年10月、駐日オーストリア大使館は、国名の日本語表記を「オーストリー」に変更し、日本でこの新しい表記が広く速やかに浸透していくことを希望すると発表した。 これは、オーストリーの使用を推奨し、実質的にオーストラリア（ラテン語: 南の地）との混同を減らすことが目的とされている。混乱を避けるために、公式表記は「オーストリア」のままとされている。----------------------------------------------------------------------------国名の表記が変わるって結構すごいなぁと・・・「日本」は「にほん」と「にっぽん」という2通りの読み方があるが，使い分けがあるのだろうか？と思ったのでちょっと調べてみた．このHPによると・・・テレビ朝日の報道スタジオには，「にほん」と読むか「にっぽん」と読むかをまとめた「辞書」が存在するらしい．その辞書を一回見てみたい♪

  2007.02.17

• 今日の予定

  今日はいつもの補習はなく，日曜特訓をやっている(日曜じゃないけど)．13時から解説が始まる．その後はいつも通り，17時から22時半まで高2クラス3連荘．今日も一日頑張ろう！

  2007.02.17

• 閃きが話題になってる♪

  Dr.NERO先生のコメント欄にも書いたけど，こっちにも書いておこう．別解が豊富な問題ほど「解く価値」があると思う．逆にいくら「テクニカルな手法」であっても，その問題でしか使えないような手法ではその問題を解く価値があまりないと思う．ここから追記．いわゆる「閃く」ためには，既存の解法パターンを「常識」として頭の中に保存していつでも取り出せる状態にしておかなければならない．ネジとドライバーを例にとって話してみよう．今目の前に一つのネジがある．そして用意されてるドライバーは1本．この場合はそのドライバーを使わざるを得ない．もしそのドライバーが使い物にならないくらい合わないものであれば，ネジを締めるのを諦めるしかない．あるいは手である程度まで無理矢理締めるくらいしか出来ない．ある程度ネジを締めることができたら部分点GETと言った感じか．それではドライバーが5本用意されていたらどうなるだろうか？ネジを目で見て大きさを確認した後，ドライバーを手にすることになる．初めは大体これがちょうどいい大きさだろうと思って手にする．しかし微妙に合わないことがある．仮にドライバーが小さかったとすると，次は必ず大きいドライバーを選ぶはずだ．少しでもピッタリ合うドライバーを使っていく．そして持っているドライバーの中にネジにピッタリ合うものがあればそれでネジを締めることが出来る．これが完答できた状態だろう．あと変わった方法としては，ドライバーの他に道具を持っていて，持っているドライバーに合うように「ネジやま」自体を変えてしまう方法がある．ある意味反則的手法であるが，ネジ自体を変えてしまうというのは賢い方法であると言える．この状態が「そんなの思いつかない！」という「テクニカルな手法」？ネジ自体を変えるなんて思いもよらない発想かもしれないが，1回見てしまえば次に困ったときにも「過去にこんな方法があったな」とネジ自体を変えることを考えるかもしれない．そしてそれがうまく行った場合，その方法を知らなかった人が見れば「なんてすごいんだ！それは思いも付かない！すごい閃きだね♪」となるのではないだろうか？ネジを締めるためにはドライバーを一杯持ってれば明らかに有利だし，ネジとは結びつかない道具ももしかしたらネジ自体を変えるのに使えるかもしれない．もう分かるとは思うが，ネジとは「問題」のことで，ドライバーや他の道具とは「公式や知識・解法パターン」のことである．色々と試行錯誤できるように道具は一杯持っておくにこしたことはない．ただし，その道具を腐らせてはいけない．いつでも使えるように磨いておくことが必要だ．せっかく手に入れた素晴らしい道具でも1回使ったきり，全く使わず引き出しの奥で埃をかぶっているような状態では非常に勿体無い．今学校や塾で教えてもらっている公式や知識・解法パターンは一つ一つが問題を解くための素晴らしい道具になる．一つ一つその道具を大切にして，いつでも使えるように磨いておこう！更には，道具の組み合わせによっては別の力を発揮できるものもある．そういうことを考えるのも面白いかもしれない．こんな風にゲームっぽく考えると数学も面白くなるのではないだろうか？ん～～ならないか・・・(笑)またダラダラと書いてしまった・・・

  2007.02.17

• 受験数学には閃きは必要か？

  そもそも「閃き」とは何なのか？閃きの定義について検索したけど，はっきりとこうってのが見つからない．調べ方が甘いのかもしれないけど・・・仮にひらめきとは「人が思いつかないような解法を思いつく」ということにする．ここで「人が思いつかない」とあるが「どれくらいの割合の人が思いつかなければそう判断されるのか？」ということも問題である．100人に1人しか思いつかないようなことなら閃きと判断されるのか？1000人に1人しか思いつかないようなことなら閃きと判断されるのか？数学の場合，人が思いつかない解法は習っていないものと決め付けることができる．もし学校などで習う解法であれば，大抵の人が「思いつく」ことになり，「閃き」とは言わないだろう．というか人が思いつかない解法というのはあり得ない．入試問題は解けることが前提で作られていて，必ず少なくとも一つの解法が存在する．既に解法が存在する以上，人が思いつかない解法ではない．未解決問題を入試問題として出題した場合，それを解くためには「閃き」が必要だと思うが・・・ということで閃きの定義を変えてみよう．閃きとは「人が思いつかないような解法を思いつく」ではなく，「問題を見て解法に至るまでの過程を思いつく」ということにしよう．問題と解法を結びつけるものが見つからなかったときに，「そんなの思いつかない！閃かない！」となるのではないだろうか？また，問題と解法を結びつけるものが見つかったときに，「思いついた！閃いた！」と言ってるのではないだろうか？しかし，その問題と解法を結びつけるものを知ってる者から見れば「当たり前の思考の流れ」であって決して「閃いている」わけではない．今までの経験に基づいて考えた結果，解法に行き着いたというだけで，「そんなの閃かない」と言ってる人を見て「それはその人が知らないだけ，単なる経験不足」と判断を下すだろう．ある問題に対して正解となる思考の過程が偶然に生まれることはない．まずは今まで解いてきた膨大な量の問題と今解いている問題を比較し，似ている問題を脳内検索する．その検索結果として出てきた問題の解法を次々と当てはめると言った「試行錯誤」をし，いくつかがその問題に合った解法にたどり着く．「経験豊富な人」はその一連の動作が高速で行われるため，問題を見た瞬間に手が動くという「経験不足の人」にとっては不思議な現象が起こるのではないだろうか？したがって，一般に言われている受験数学における閃きとは・・・「偶然の出来事ではなく，情報の蓄積と結びつきの結果」ではないだろうか？ただ，こういう定義をしてしまうと，僕のブログのタイトルを「受験数学は閃きだ！」に変えないといけない．すべての問題において「閃き」が必要となるからだ．一般に言われる「閃き」とはそういうものではなく，「偶然の出来事」のように扱われてるような気がする．しかし，厳密に「閃き」の定義が分からないので，ブログのタイトルは「受験数学って暗記！？」と「？」を付けている．あとは「暗記」もどこまでを「暗記」というかも問題になってくる．僕が言う「暗記」は「単純暗記」ではなく「理解を伴う暗記」である．そんなの暗記と言わないと言われればそうなるだろう．「理解を伴う知識の蓄積」とでも言うしかないだろう．ブログのタイトルが「受験数学とは理解を伴う知識の蓄積だ！」と書いても当たり前すぎて誰も見ない気がする．ということで「暗記！？」となっている．要するに，自分でも何が「閃き」で何が「暗記」と言われるものなのか分かっていないということ．なんだそれ？全然まとまってないやん・・・(笑)とまぁこんな感じです．いかがですかシンバ先生？

  2007.02.16

• 気が付けば・・・

  気が付いたらもう6時・・・今日は中3の補習がないので塾に行かなくても良いんですが，結局行くことにしました．とりあえず寝ます．

  2007.02.16

• もうすぐ・・・

  3月からの新会社設立に向けての仕事＋受験期ということで忙しいです．でも，質問に関してはいつでも受け付けているので遠慮せずにして下さい．さて・・・明日はたまたま中3の補習がないので久々の休みです．休みと言っても塾に行かないだけで家で仕事してますけどね・・・明日は一日中，今後の予定を考えるのに時間が使える♪よし！頑張ろう！

  2007.02.16

• 次々と合格

  さっき女の子からメールを貰った。 立命館大学に見事合格！しかも特別奨学生だ！ もう一人、男の子からもメールを貰った。 立命館大学と関西大学に見事合格！ 二人ともおめでとう♪ でもまだ本命の国立大学の入試がある。 気を抜かないように頑張れ！

  2007.02.15

• 

  平面図形の証明

  [問題]半径が1である円がある．その円に内接する三角形の各辺の2乗の和が8より大きいとする．このとき，その三角形は鋭角三角形であることを証明せよ． 今回は(も？)僕が考えた順番に書いていきます．つまり僕の思考回路の曝け出しってことですね．う～ん・・・恥ずかしい．（今更何を言ってるのか・・・）と冗談を言ってる暇はない・・・ではいきます！まずは扱う三角形を△ABC（3辺の長さは a,b,c）とする．この時点で一つの条件式が作られる．当たり前の式であるが忘れないようにしよう．それでは条件を式で表そう．△ABCが半径1の円に内接している，つまり△ABCの外接円の半径が1．「外接円」とくれば使うものは「正弦定理」！ということで次式が得られる．さらに「△ABCの各辺の2乗の和が8より大きい」をそのまま不等式で表すと次のようになる．以上の3つの式が問題文の条件である．次に示すべきことを式で表すことを考える．示すべきことは「△ABCが鋭角三角形」ということだ．鋭角三角形とは何か？3つの角がすべて鋭角である三角形のことだ．条件文を式で表したことからsin，cosで表すことは予想できる．sinは鋭角でも鈍角でも正で変わらないから符号が変わるcosを使おう．「 cosA>0　かつ　cosB>0　かつ　cosC>0 」この状態ではまだ「かつ」という言葉が残っているので消して1つの式にすることを考える．3つの数がすべて正だから，3数を掛けても正（原則として和ではなく積を考える）ってことで出てくるのは次の式である．「 cosAcosBcosC>0 」しかし，一つの疑問が生じる．逆が成り立つかどうかという疑問である．3数を掛けて正だからと言って，3数すべてが正であるとは一般には言えない．しかし，今扱っているのは単なる3つの数ではなく，三角比である．cosAcosBcosC>0 が成り立つ例として，仮に 「 cosA>0,　cosB0 かつ cosB>0 かつ cosC>0 ⇔ cosAcosBcosC>0が成立することが分かり，示すべきことを式で表すことができた．ちなみにこのこと自体は僕の中では公式となっている．色々な問題集に証明問題として載っているので，いつでも出来るようにしておこう！さて，話を戻します．あとは条件からこの不等式を導くだけ！ということで初めの問題は次のようになる．とりあえずは a, b, c を消去し，次数を2次から1次に下げる．その後，和積の公式を使い，積の形に仕上げていくという感じ．上記の解答で解説は終わりだけど，ついでなので証明を載せておこう．

  2007.02.15

• 帰宅

  昨日と今日はあまり寝ていないため，かなりの睡眠不足．今にも寝そうだけど，もう少しだけ頑張ろう．

  2007.02.14

• 今日も頑張ろう！

  今日も朝から活動開始です．今日は水曜日．ということは舞鶴校舎で高2の授業だ．一つは生徒が2名の特進個別クラス．このクラスは僕の時間が空いていたから，無料で設置したクラス．前回は明日提出する学校の宿題が分からないということで，東大の入試を含めて4問を解かされる羽目に・・・解説してたら授業時間が終わってしまってた．今日は普通に数3やらせてもらえるのだろうか・・・？もう一つは一般クラス．このクラスは成績はさっぱりだけど，全く憎めない生徒ばかり．先週まで修学旅行だったので，その話で盛り上がりそう．今日を含めて舞鶴校舎での水曜日の授業はあと3回．生徒達は最後はお別れパーティーしようとか言ってくるし・・・僕としてはその言葉はめちゃくちゃ嬉しい．めちゃくちゃ嬉しいが，授業を潰してパーティーするってのも少し微妙．今の僕の立場を考えると，特に何も言われないとは思うけど・・・でも微妙．授業時間全部を潰すのはまずいと思うけど，最後の30分くらいならいいかなとも思っている．でも普通に授業をしたとしても全く頭に入らなさそうだし・・・う～ん・・・そのとき考えることにしよう．

  2007.02.14

• 癒された♪

  今日は忙しくなると予想していたが・・・一つも記事が書けないとは思わなかった．会社設立は大変だと思っていたけど，思っていた以上に大変だ．運営はもっと大変だろうけど・・・ただ，0からのスタートではなく，基盤があるのでまだマシではあるが・・・明日も朝から頑張ろう！・・・ってかもう日付変わって14日か．2月14日と言えばバレンタインデー♪さっき帰宅してブログの管理画面見たらメッセージが来てた．そしたら・・・「義理チョコ♪」となっていた＾＾疲れていたのでかなり癒された♪♪♪さとみ♪♪ちゃんありがとね＾＾

  2007.02.14

• 

  漸化式～特性方程式～

  前回の問題において，右辺を展開して同類項整理すると次のようになる．実際見かける問題もこの形になっていて，前回のような形では出題されない．この漸化式を解くためには，変形する前の状態（前回の問題の形）に戻さなければならない．どのようにして変形するかがポイントとなる．与えられた漸化式がと変形できたとしよう．(a_n の係数は 2 だから，その部分は変えない)「+1」という定数を上手い具合に両辺に振り分けてやるのだ．ここで注意することは，左辺が「n+1 に関する式」右辺が「n に関する式」と添え字を一つだけずらした「同じ形」でなければならない．それではこの式を展開・整理すると，となり，係数比較によって c=-1 となることが分かる．したがって，この問題は前回の問題と変形でき，解けることが分かる．では，この定数 c を求めるために，いちいちとおいて係数比較をしなければならないのか？という疑問が生じる．そこでよくあるのが，次に示す特性方程式を用いて求める方法である．この説明をすると，ほぼ確実に次のような質問を受ける．「a_{n+1} と a_n は違うものなのに，同じ文字でおいても良いのですか？」確かに異なる値をとるものを同じ文字で置いてしまうところが納得いかないだろう．それでは考え方を変えてみよう．「そもそもこの定数 c にはどのような意味があるのか？」この問題では c=-1 である．では，数列{a_n}の初項を -1 と仮定しよう．つまり次のような問題を考える．この場合の一般項はどうなるだろうか？n = 1, 2, 3,・・・のときを実際に計算すると次のようになる．上の計算からも分かるように，数列{a_n}の一般項は a_n=-1 となることが分かるだろう．つまり，a_{n+1}=a_n となるような a_n の値が -1 だったということで，同じ文字において方程式を解けばその値が得られることも分かるだろう．-1 は特性方程式の解であるから，-1=2・(-1)+1 を満たす．この等式と元の漸化式から次のように変形することができる．これで解けるはず．答案には特性方程式によって -1 を求める過程を書く必要がない．したがって，解答は次のように書けばよい．

  2007.02.13

• ブログを書く意味

  時々何のためにブログを書くのか分からなくなるときがある．数学の問題を扱う記事にしても，生徒が見なければ書く意味はほとんどないと思っている．毎日チェックして記事を読んで勉強してくれている生徒って何人いるんだろう・・・？ただ時々他の塾長さんから生徒が楽しみにしているというメールを頂くとものすごく嬉しくなる．やはり見てくれる人・読んでくれる人がいるからこそ，書く意味があると思う．この前，ある生徒から「授業でやった内容を記事にして欲しい」と提案された．この提案は「勉強に対する前向きな気持ち」の表れだと思う．こういう変化があったのはすごく嬉しい．授業内容をすべて記事にするのは，かなり無理があるとは思うが，高校3年分の授業内容をすべて記事に出来たらものすごいことになるなぁとも思う．一つ一つできることをやるしかないな・・・頑張ろう．

  2007.02.12

• 今日も日曜特訓

  今日も日曜特訓がありますが，舞鶴校舎で日曜特訓をするのは今日が最後となります．その後は高1の補習を少し入れている．高1生が忘れてるかもしれないから一応メールしておこう・・・補習後は時間が合えばたか先生と打ち合わせ．最近は経営のことについて考える時間が長くなった．今後のためにも経営についての勉強もしないといけないな・・・

  2007.02.12

• 

  漸化式～基本形～

  まずは漸化式の基本形から．上が等差数列だと判断できる形．下が等比数列だと判断できる形．しっかり理解してこの形になればすぐに一般項を求められるようにしよう．では問題．左辺と右辺の括弧内が「同じ形」であることに注意．違いは左辺が「n+1 に関する式」で右辺が「n に関する式」となっていること．分かりやすくするために置き換えてみよう．次のことが分かるかな？分かりにくければ次のように n=1,2,3,・・・の場合を考えてみよう．つまり，a の添え字と b の添え字が等しいってこと．数列 {b_n} で置き換えた場合，初項は b_1=a_1+1=2 だから，与えられた漸化式は次のようになる．こうなれば「等比数列を表している形」だと分かるよね？ということで解答は次のようになる．一般項を求めた後は，n=1のときの値を求めて，a_1と初項が一致することを確かめておこう．もし一致しなければ，どこかで間違っているので見直そう．見直した結果，どこにも間違いがなかった場合，考えられるのは次の2つ．[1] 確認のために求めた a_1 の値が間違っている．（確認の計算間違い）[2] 問題を見間違えている．どちらにせよ，単なる「ケアレスミス」「つまらないミス」では済まされない．masa/k先生が書かれているようにそれが実力だと思うようにしないといつまでもミスはなくならない．1問1問丁寧に解く癖をつけよう．

  2007.02.12

• 説明会終了

  出席して下さった方は基本的に入塾希望者という感じ。 結構良い感じかな。

  2007.02.11

• やばい

  移動中だけど、ちょっと遅れ気味…

  2007.02.11

• 今日の予定

  午前中はフリー．午後からは舞鶴校舎で日曜特訓で数学・理科の解説．その後は福井校舎に移動し，入塾説明会．終わってからはみんなでミーティング．

  2007.02.11

• 寝ます

  今ようやく話し合い終了．もう6時前・・・数学記事を書いてると寝る時間が0になるので書けませんm(_ _)m寝つきが悪いので梅酒一杯飲んで寝ます．

  2007.02.10

• 眠気がなくなってきた

  VBAの本を読みながらユーザー定義関数を作ったりしてるうちに，ドンドン時間が経っていく・・・そうこうしてるうちに上司から連絡があり，スカイプで3月に向けての話し合いや書類作成．まだそれは続いてるわけだけど，やはり会社設立って大変だと実感．

  2007.02.10

• 頭が働かない

  眠すぎる・・・・寝たいがそうもいかない・・・寝る時間がバラバラだから余計に疲れるのかも・・・・ある程度規則正しく生活しないといけないな．

  2007.02.10

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  2006年 神戸大・文系

  高1の授業で少し説明したので具体例を挙げておきます．この問題を見て「点Pってどこ？っていうか『点Pを通る直線 l_t はただ1つであるとする』の意味が分からない！」となってどうしたらいいのか分からなくなる人がいると思う．数学の問題は「～のとき，・・・を求めよ」となっているものが多い．言うまでもなく，条件や求めるべきものをしっかりと理解することが大切．条件が数式で表されている場合はまだ楽．言葉で表されている場合は，その言葉が表す内容を普通は数式で表して解くことになる．また，求めるべきものも数式ではどういうものを求めるのかということを知っておく必要がある．それでは一つ一つ整理していこう．この問題で求めなければならないのは「点Pの軌跡」．点Pは直線・放物線・円・楕円・双曲線や3次関数などの何かしら曲線を描くわけで，「その方程式を求めなさい」と言われている．「軌跡を求めよ」と言われれば，通常は，軌跡を描く点の座標を(X,Y)とおいて，X,Yの満たす関係式(方程式)を求めることになる．ということで，点Pの座標を(X,Y)とおくことにする．では次に条件とされている「点Pを通る直線 l_t はただ1つであるとする」について考えよう．とりあえず「ただ1つである」という部分は一旦無視して考える．「点Pを通る直線 l_t」は「直線 l_t は点Pを通る」と言い換えることができる．つまりは点Pの座標を直線 l_t の式に代入すると成り立つということ．実際に代入すると，Y=2tX-t^2 となる．では「ただ1つである」の部分について考えよう．何がただ1つ，言い換えると何が1つしかないかというと，「直線 l_t が1つしかない」のである．では直線 l_t は何によって決まるのか？問題文にもあるように「実数 t」の値が決まれば，それに応じて直線 l_t が1つだけ決まる．「直線 l_t が1つしかない」ということは，「実数 t が1つしかない」と言ってるのと同じことである．つまり「Y=2tX-t^2 を満たす t が1つしかない」のである．Y=2tX-t^2 は t についての2次方程式と見ることができるから，「t についての2次方程式 t^2-2Xt+Y=0 がただ1つの実数解をもつ」ということである．ここまで言い換えればもう分かるよね？2次方程式がただ1つの実数解をもつ条件について考えればよく，それは判別式が0ということだ．以上のことを踏まえて解答を書くと次のようになる．ちなみにこの問題は「包絡線」に関した問題．包絡線とは・・・与えられた曲線族と接線を共有する曲線，すなわち与えられた（一般には無限個の）全ての曲線たちに接するような曲線のことである．

  2007.02.09

• 目がテン

  大宮塾長の記事を携帯から見て，何かとんでもないことが起こっているということは分かっていたけど，画面が小さすぎてよく分からなかった．さっき帰宅して真っ先に確認してみた・・・目がテンになるとはまさにこのこと．やることがアホすぎる！学校名を公表して徹底的に問題にしても良いのではないでしょうか？

  2007.02.09

• さかさま

  本屋でVBAの本をあさっていたら… 273ページ以降が逆さまになっていた。

  2007.02.08

• VBA

  大学生時代はエクセルをほとんど使うことがなかった．しかし会社に入ってからは，成績管理などでエクセルを使うことになった．でもそれほど苦労はしなかった．躓いたときには大抵はヘルプを見れば解決するから．今3月からの新体制に向けて新たなファイルを作っている．分岐条件がややこしく，if関数では入れ子状態が何重にもなりかなり分かりにくい．ということでVBA(Visual Basic for Application Edition)に挑戦することになった．今までややこしいのが嫌で逃げてきたんだけど，やっぱ何でもある程度は出来るようにしないとダメだと実感．幸いにもPascalやC言語のプログラミングの経験があるので，それほど苦労はしないとは思うが・・・2月も残り3週間となった．何をするにも時間が足りない・・・急がねば・・・

  2007.02.08

• 眠い・・・

  スカイプミーティング継続中～眠い～～～

  2007.02.08

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  再び等式の証明～第6弾～

  この等式の証明では，条件が式で与えられていて示すべきものも式で与えられている．しかし，示すべきものは1本の式とはいえない．「x=1 かつ y=1 かつ z=1」と書けば分かるように「かつ」という言葉でつながれている．その部分にこの証明の難しさがある．ということは，示すべきものを「かつ」を使わずに1つの等式で表すことができればかなり楽になる．問題を単純化してみよう．「x=0 かつ y=0」 を1つの等式で表せ．この逆の操作はかなりやっていると思う．それは「実数の性質」でやっているはず．元に戻してみよう．「x=1 かつ y=1 かつ z=1」基本的には「0」と等しくなるようにしたほうが良い．ということで書き換えてみよう．「x-1=0 かつ y-1=0 かつ z-1=0」これで分かるかな？つまり，問題は次のように書き換えることができる．ここまでくれば，左辺を計算していって，条件を使うことによって0になるということを示せばいいことが分かる．

  2007.02.08

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  二項係数～式が表す意味～

  さっきの記事の続き．もう一度問題を表示しておく．ただ計算して証明できてもイマイチという感じ．ということで，この式がどういうものを表しているかを考えてみよう．いつもは「言葉で表されたものを式で表せ」と言ってきたが，これは全く逆の操作．とりあえずは「なるほど．そう捉えることも出来るね．」と軽く捉えてもらえばいいと思っている．突然であるが，次の問題を考えることにしよう．n 人の中からリーダー1人を含む k 人を選ぶ方法は何通りあるか？この問題を解くために，次の2通りの方法で考えてみる．(i) n 人から k 人を選んだ後で，その中からリーダー1人を選ぶ．(ii) n 人からリーダー一人を選んだ後で，残りの n-1 人からリーダー以外の k-1 人を選ぶ．それぞれの場合の数を考えるんだけど，その際に必要なのが次の「積の法則」．それではそれぞれの方法について．(i)の方法を考える．n 人から k 人を選ぶ方法は nCk 通り．その選んだ k 人からリーダーを1人選ぶ方法は k 通り．積の法則によって，等式の左辺が得られる．(ii)の方法を考える．n 人からリーダー1人を選ぶ方法は n 通り．残りの n-1 人からリーダー以外の k-1 人を選ぶ方法は (n-1)C(k-1) 通り．積の法則によって，等式の右辺が得られる．(i)と(ii)は考え方が異なるだけで，「n 人の中からリーダー1人を含む k 人を選ぶ」ことに変わりはないので等しいはずである．ということで等式が成り立つことが証明された．このような具体例を挙げることにより，一見無意味な等式にも意味があることがわかるだけでなく，単なる計算のみの証明だけでは与えられない「なるほど感」を与えられると思う．

  2007.02.07

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  二項係数～頻出問題～

  今回は二項係数の性質としてよく出題される問題について．等式の証明の問題．この場合，両辺をともに同じ形になるように変形して等しくなることを示せばよい．ってことで解答です．これで証明はできているけど，生徒の反応はイマイチ．「分かるけど，何これ？計算させたいだけ？」と言った感じ．ではどうすれば良いだろうか？

  2007.02.07

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  2次方程式の重解について

  今回は2次方程式が重解をもつ条件とその解について書きます．問題自体は難しくないですが，よく質問されるので書いておこうと思いました．まずは2次方程式の解の公式．次に判別式について．判別式って単に「解の公式の根号の中身」ってことだからね．そして，よくされる質問とは・・・「重解が x = -b/(2a) となるのが分からない」解の公式と判別式の関係をしっかり理解しておこう．重解をもつということは，判別式が0になる．つまり，根号内が0になるということ．どうも忘れやすい事項みたいなので，しっかり理解して使えるようにしよう！最後に解答です．計算の途中の掛け算はわざと計算してません．両辺を9で割るのも楽だし，どっちにしろ，素因数分解して根号の外に出せるものは出さないといけない．それなら計算するだけ時間の無駄ってこと．掛け算の形になっているんだから，その形を最大限利用しよう．この問題ではたまたま4の2乗になったが，そうでない場合でも有効だと思う．そして最後は問題集などの答えでよく書かれている式で，よく質問されるポイント．「2次方程式の重解」が問題になったときはいつでも使えるようにしよう！

  2007.02.07

• 設置完了

  舞鶴校舎から福井校舎へ移動した後，中3生の質問に答えたりする合間にPCの設置完了．ネット接続もすんなり出来たのでよかった．これで福井校舎にいてもプリント作成ができる♪プリンターの設定がまだだけど・・・

  2007.02.06

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  2次方程式の重解について

  今回は2次方程式が重解をもつ条件とその解について書きます．すべてを携帯用で書くのはきついので，今回は問題だけは携帯でも見れるようにしておきます．[問題]～携帯用～2次方程式2x^2-3kx+18=0が重解をもつようにkの値を定めよ．また，そのときの重解を求めよ．とりあえず問題だけアップ．解答・解説はまた後で．

  2007.02.06

• 復活

  起きたら昨日の頭痛はなくなっていた．とりあえずは復活だ．2月末まで残り20日程度．そろそろ少しずつ舞鶴校舎の私物整理をしていかなければならない．今は舞鶴校舎での授業は週に2回しかない．あとは全部福井校舎．ということは舞鶴校舎に設置している自作PCは福井校舎に置いたほうが効率的．今日から少しずつ整理していこう．

  2007.02.06

• 帰宅

  今帰宅．授業の少し前から頭痛がしてたが・・・かなり酷くなってきた．ただ食欲はあるので，食べて薬を飲んで寝ようと思う．ということで数学記事を書く予定でしたが，無理そうです・・・

  2007.02.06

• 授業行ってきます

  今から福井第2校舎で授業です。授業後は大事な大事なミーティング。ということで今日の帰りは遅くなりそうです。

  2007.02.05

• 腹減った・・・

  明日の授業で使うプリント作成中～腹が減ったが何も食べるものがない・・・というかこんな時間に食べたら恐ろしいことになる・・・

  2007.02.05

• 久々

  久々にゆっくり休んだ気がした．それでも全然疲れは取れていない．一部の人にしか分からないと思うが，ここで僕が言う疲れは精神的疲労だ．あと少しだ・・・頑張ろう．

  2007.02.05

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