新着記事一覧 | 受験数学って暗記！？(仮)～高校受験・大学受験～

第5弾・第6弾をまとめて解く方法

今回は相加・相乗平均の関係に関する問題の第5弾・第6弾をまとめて解く方法について書きます．[問題]～携帯用～x/(x^2+x+1)の最大値と最小値を求めよ．考え方としては，分母も分子も好き勝手に動かれては，全体の動きなんてさっぱり分からない．ということで，全体を一つの文字においてしまえば動きがみやすくなります．つまり，与式を k とおいて，k の最大値・最小値を求めようということです．[解答]～携帯用～x/(x^2+x+1)=k とおくと，kx^2+(k-1)x+k=0 ・・・(1)となる．x は実数であるから，(1)が実数解をもつ条件を求める．(i) k=0 のとき(1) ⇔ -x=0 ∴x=0(ii) k≠0 のとき(1) の判別式を D とすると，D=(k-1)^2-4k^2=-3k^2-2k+1(1) は実数解をもつから，D≧0 より，-3k^2-2k+1≧0⇔ 3k^2+2k-1≧0⇔ (3k-1)(k+1)≧0∴ -1≦k≦1/3，k≠0(i)，(ii)より，-1≦k≦1/3k=-1 のとき，x=-(k-1)/(2k)=-1k=1/3 のとき，x=-(k-1)(2k)=1であるから，求める最大値・最小値は次のようになる．最大値 1/3 (x=1 のとき)，最小値 -1 (x=-1 のとき)

2007.02.04

第6弾～変数変換の重要性と定義域の変化～

相加・相乗平均の関係に関する問題の第6弾．今回は「変数変換の重要性と定義域の変化」について書きます．[問題]～携帯用～x＜0のとき，x/(x^2+x+1)の最小値とそのときのxの値を求めよ．前回と同じ問題ではないですよ．分数式における最小値を求める問題．ということは「相加・相乗平均の関係」を使うだろうと予測．しかし，今までの問題とは大きく異なる点がある．x＜0という条件に要注意．これでは「相加・相乗平均の関係」が使えない．じゃあどうするか？「負」だから使えない．なら「正」にしてしまえばよい．というか，「負」って考えにくい！「正」の方が考えやすくない？ってことで無理やり正にしてしまいましょう！そして，これが今回の最大のポイント！「x＜0のときは，t を正の数として，x＝-t と置き換えて考える！」何回も言ってると思うけど，これは思いついているのではない．こうすれば考えやすいから・解けるからこうするのだ．こういう一つ一つの考え方を理解し，覚えていくことが重要だ．「答え」を理解・暗記するのではなく，「考え方」を理解・暗記するのだ．見たことのない問題を解く際には，まず自分が解いた問題の中で「似たような問題」を探す．脳内検索によって類似問題が見つかった場合，その問題で使った解法を当てはめてみる．それで解ければ問題なし．解けなければ，また脳内検索をして次の手を考える．それでも解けない場合，その問題を解くための「知識」がないか，「道具の使い方」が分からない（気付いてない）かどちらかだろう．どちらの場合でもその問題を解くための「知識」や「道具の使い方」を吸収して忘れないようにすればよい．それでは実際に変数変換してみよう．[改題]～携帯用～t＞0のとき，-t/(t^2-t+1)の最小値とそのときのtの値を求めよ．これで解けるかな？前回と同様，分数式の変形における原則が満たされているので，分母・分子を同じ式で割ることを考える．つまり，分母・分子を t で割れば解決！改題の解答は，元の問題の解答とほとんど重複するため，元の問題の解答を書きます．[解答]～携帯用～tを正の数として，x=-t とおくと，（与式）=-t/(t^2-t+1)となる．分母・分子をt(≠0)で割って（与式）=-1/(t+1/t-1)t＞0だから，相加・相乗平均の関係より，t+1/t≧2√(t・1/t)=2⇔ t+1/t-1≧1⇔ 1/(t+1/t-1)≦1∴ -1/(t+1/t-1)≧-1（等号成立は，t＝1 ⇔ x=-1 のとき）したがって，求める最小値は-1（x＝-1 のとき）

2007.02.04

第5弾～相加相乗平均の関係と最大値～

相加・相乗平均の関係に関する問題の第5弾．今回は「分数式の変形におけるもう一つのポイント」について書きます．[問題]～携帯用～x＞0のとき，x/(x^2+x+1)の最大値とそのときのxの値を求めよ．この問題の分数式は「（分子の次数）＜（分母の次数）」を満たしているので，別の変形を考える．さてどうしよう？もう一度問題文を見てみよう．「最大値」を求めよ．ってある．今までは「積が一定」となるように変形して，「最小値」を求めてきた．ところがこの問題では「最大値」が知りたいらしい．じゃあ「逆数の最小値」を求めればよいってことになる．aが最大となるとき，aの逆数1/aが最小となるってことね．[改題]～携帯用～x＞0のとき，(x^2+x+1)/x の最小値とそのときのxの値を求めよ．こうなれば分数式の変形における原則「（分子の次数）＜（分母の次数）となるように変形する」に従って変形することができる．[改題の解答]～携帯用～（与式）=x+1/x+1x＞0だから，相加・相乗平均の関係より，x+1/x≧2√(x・1/x)=2∴ x+1/x+1≧3 （等号成立は x＝1 のとき）したがって，求める最小値は3 （x＝1のとき）「逆数をとって問題を変える」ことをせずに解答を書いてみよう．そこで分数式の変形において，もう一つのポイントがある．「分母・分子を同じ数(式)で割る」ということだ．つまり，この問題では分母・分子を x で割ることによって，改題と同じ操作を行うことができる．まぁ同じことなんですけどね・・・利点は「逆数の最小値を求めればよい」と書かずに済むくらいですね．[解答]～携帯用～分母・分子をx(≠0)で割って（与式）=1/(x+1/x+1)x＞0だから，相加・相乗平均の関係より，x+1/x≧2√(x・1/x)=2∴ x+1/x+1≧3∴ 1/(x+1/x+1)≦1/3（等号成立は，x＝1 のとき）したがって，求める最大値は1/3（x＝1のとき）

2007.02.04

帰宅

やっぱり土曜日はさっぱり更新できない．14時～22時半までずっと授業．授業の合間の10分程度の休みしかない．ってことでさっき帰宅．これからゆっくり記事書きます．

2007.02.03

一つのものに懸ける思いが人を動かす

「ドラえもん」パロディー本「大ヒット」で困った事態小学館は「著作権侵害」と判断、作者に販売中止を求める．これを受けて、小学館はこれを「著作権侵害」と判断、06年中に、マンガの作者に販売中止を求めた。この件について、小学館知的財産管理課はJ-CASTニュースの取材に対して「この件については、現在交渉中で、結論も出ておりませんので、詳細についてはコメントできません」としながらも、「今後、著作権侵害については、厳格に対処していきます」との原則を強調した。話題のドラえもん最終話はこちら

2007.02.03

第4弾～分数式の変形における原則～

相加・相乗平均の関係に関する問題の第4弾．今回は「分数式の変形における原則」について書きます．では問題です．[問題]～携帯用～(x^4+7x^2+19)/(x^2+2) の最小値とそのときの x の値を求めよ．ここで，「a^b」は「a の b 乗」を表すことにします．またまた分数式の最小値を求める問題．しかし，今までとは異なり，積が一定というのが見えない．何とか積が一定になるように変形しなければならない．どのように変形するか？その変形方法がポイントである．分数式の変形における原則というものがある．それは「（分子の次数）＜（分母の次数）となるように変形すること」である．これは具体的には「割り算」をすることによって可能である．[重要事項]～携帯用～整式 A を整式 B で割ったときの商を Q，余りを R とすると，A=BQ+R　← 7=2×3+1 という感じと表すことができる．両辺を B で割るとA/B=Q+R/B ← 7/2=3+1/2 という感じとなる．この問題の場合，(x^4+7x^2+19)÷(x^2+2)をすることによって，分子の次数を分母の次数より低くすることができる．割り算の結果，x^4+7x^2+19=(x^2+2)(x^2+5)+9 となるから，(x^4+7x^2+19)/(x^2+2)=x^2+5+9/(x^2+2)と変形できる．ここから前回同様，積が一定になるようにするにはどうすればいいか？を考えると，(x^4+7x^2+19)/(x^2+2)=(x^2+2)+3+9/(x^2+2)となる．この後は相加・相乗平均の関係が使える条件に気を付けるだけです．[解答]～携帯用～(x^4+7x^2+19)/(x^2+2)=(x^2+2)+9/(x^2+2)+3x^2+2>0 だから，相加・相乗平均の関係より，(x^2+2)+9/(x^2+2)≧2√{(x^2+2)・9/(x^2+2)}=6∴ (x^2+2)+9/(x^2+2)+3≧9（等号成立は，x^2+2=9/(x^2+2)，すなわち x=±1 のとき）したがって，求める最小値は9（x=±1のとき）

2007.02.03

第3弾～式変形における工夫～

相加・相乗平均の関係に関する問題の第3弾．今回は「相加・相乗平均の関係を使える形に式を変形する」ことについて書きます．では問題です．[問題]～携帯用～x>-1のとき，x+3/(x+1)の最小値を求めよ．分数式の最小値を求める問題．ということでほぼ「相加・相乗平均の関係」を使うだろうと予想．初めから「相加・相乗平均の関係を使う問題」とは見ていないということを前提としているのでこういう書き方になります．「相加・相乗平均の関係」を使って，最小値を求めるには，公式の形から考えると「積が定数」になるようにしなければならない．分母が x+1 であるから，積が定数になるためには，x+1 が分子にもなければならない．ここで分母を x にすることも考えることも出来るが，分数の分母を変えるなんて難しすぎるので分子で「調整する」ということです．x+3/(x+1)=x+1+3/(x+1)-1 と変形しよう．x を x+1-1 と変形していることがポイント．この変形はよく使うので覚えておこう．それでは解答です．[解答]～携帯用～x>-1 より，x+1>0 だから，相加・相乗平均の関係より，　x+1+3/(x+1)≧2√{(x+1)・3/(x+1)}＝2√3　∴ x+3/(x+1)≧2√3-1（等号成立は，x+1=3/(x+1) すなわち x＝√3-1 のとき）したがって，求める最小値は 2√3-1（x＝√3-1 のとき）

2007.02.03

第2弾の解説

現在福井校舎で TeX が使えないが、書けそうなので解説を書いてみよう。実際には TeX の図の方が見栄えは良いが、携帯からは見れないという欠点もある。見栄えを気にしなければ、TeX を使わずに書いたほうが良いのだろう。それでは解説です。二つの答案のうち、答案 I が間違っています。ではどこが間違っているのか？ポイントは「その等号は本当に成り立つの？」である。まずは、次の事項は分かるだろうか？A≧B＞0，C≧D＞0 のとき，AC≧BD が成り立つ．（等号成立は，A＝B かつ C＝D のとき）証明は次の通り。A≧B＞0 の辺々にC(＞0)を掛けると，　　　AC≧BC（等号成立は，A=B のとき）・・・(1)となる．　また，C≧D＞0 の辺々にB(＞0)を掛けると，　　　BC≧BD（等号成立は，C=D のとき）・・・(2)となる．　(1),(2)より，AB≧BC≧BD が成り立つ．　したがって，AC≧BD となる．等号成立は，A=B かつ C=D のとき．答案 I の等号が成立する条件について考えてみよう！1 の等号成立条件は、a=2/b ⇔ ab=2 のとき。2 の等号成立条件は、b=3/b ⇔ ab=3 のとき。1,2 をまとめた最後の式における等号成立条件は、ab=2 かつ ab=3 のときである。これを満たす a, b は存在しない。つまり、1,2 をまとめた最後の式の等号は a, b をどのような値にしたとしても成り立つことはない。では、次に答案 II について考えてみよう。答案 II における等号成立条件は、ab=6/ab のとき。すなわち、ab=√6 のときである。ということで、ab=√6 のとき、与式は最小値 5+2√6 をとる。今回の例からも分かるように、常に「等号が成立するかどうか」を考えることが大切である。したがって、「～の最小値を求めよ」という問題文のあとに「また、そのときの～の値を求めよ」となくても、最小値をとるときの変数の値を考えるようにしたほうが良い。

2007.02.02

いっち～先生作

いっち～先生が合格祈願？の雪だるまを作ったみたい♪ これは合格祈願なのか疑問だけど、まぁいいか…

2007.02.02

寒い～

車が雪で真っ白に… 安全運転を心がけよう。

2007.02.02

第2弾～よくある誤答例～

この問題に対して，次の二つの答案があります．この二つの答案のうち，どちらか一方が間違っています．どちらが間違っているのか？どこが間違っているのか？

2007.02.02

第1弾～相加・相乗平均の関係～

「相加・相乗平均の関係」は最大・最小問題によく使われる．数3の微分を学習する前に，分数式の最大・最小問題が出題されれば，必ずと言っていいほど「相加・相乗平均の関係」を使う．では次の問題を考えてみよう．最小値の求め方には「グラフを描く」という視覚化する方法もあるが，2変数では無理．さらに，分数で表されているから数3の微分を知らないとグラフさえ描けない．こうなれば間違いなく「相加・相乗平均の関係」を使う．ここで，最小値の捉え方を変えてもらいたい．「y の最小値を求めよ」と言われれば，「y≧m」という不等式を導けばよい．そうすることによって，m が y の最小値ということになる．最大値と言われれば，不等号の向きが逆になるだけ．最小値を不等式と関連付ければ，「相加・相乗平均の関係」とも結びつきやすくなる．今回の問題の場合，一発でその不等式を導くのは困難．ということで，次がポイントとなる．A≧B かつ B≧C のとき，A≧C．等号成立は，A=B=C のとき．こんなの当たり前と思うだろうが，結構重要．A と C をつなぐためのワンクッションが非常に重要．不等式の証明などではこの考え方をかなり使う．ということで解答は次のようになる．

2007.02.02

相加・相乗平均の関係

不等式の証明や最大・最小問題に用いられて，使いどころが良く分からないとされている「相加・相乗平均の関係」について．証明に入る前にちょっと余談．相加平均とは，ごく普通の平均のこと．a と b の相加平均とは，同じ2数を足して a+b になるものだから，(a+b)/2 となる．相乗平均とは，掛け算の平均のこと．は？何のこっちゃ？ってなるけど，分かれば簡単．a と b の相乗平均とは，同じ2数を掛けて ab になるものだから，ab の平方根．つまり，√ab となる．ってことで証明いってみよう！

2007.02.02

補足

ただいま休憩中．さっきの記事の補足をしておこう．現在は確かにB高校の生徒も来ている．しかし，A高校との学力差は歴然で，塾生のほとんどはA高校の生徒ということもあり，進度はA高校に合わせている．B高校の生徒用のクラスを作れば問題は解決するが，時間もなければ場所もない．実質不可能ということだ．じゃあ今来ているB高校の生徒は授業中何をしてるかというと，各自で自習している．塾に来る意味があるかというと，全く意味がないだろう．そのことに関しては，保護者の方にも始めに説明している．しかし，塾としては申し訳ないので，入塾を断ったこともあったが，保護者の方がどうしてもということで入れていた．理由としては，家では勉強できないので，塾の授業を受けなくてもいいから自習させてあげて下さいということだ．ただほとんどの場合，途中で辞めていく．塾としての方針があまりに中途半端なため，今年度からはA高校の生徒しか始めからお断りさせていただくということになった．場所と時間が確保できれば，B高校の生徒専用クラスを作るかもしれないが，今のところ未定．

2007.02.01

生徒の変化

福井校舎での話．A高校とB高校と二つの公立高校を受験する生徒がほとんど．上司が次からはA高校の生徒しか塾に入れないと言ったことが始まりだった．ある生徒はB高校志望だった．しかしその話を聞いてから，お母さんに「A高校を目指す」と言ったらしい．お母さんは「急にどうしたの？」と聞いたらしい．確かにこの生徒は以前はA高校には全く届かない成績だったが，今は手がかかりそうなところまで来ていることは確か．で，その生徒はお母さんに何と言ったか．「B高校だったら塾に行けないから」と言ったらしい．お母さんが理由はそれだけか聞いたらそれだけとのこと．その子はもう一人で勉強していく力はついていると思う．しかし，塾から離れられない．塾としては良い傾向である．しかし，個人的に塾に頼り切ってしまうのも微妙な感じ．どういう塾を目指すのか・・・良い方向に進んでいきたいものである．では授業に行ってきます．

2007.02.01

第5弾の証明

この問題は等式の証明に必要な考え方を知らないと解けない．当然であるが，何を証明すればよいのかが分からないと証明なんてできるわけがない．この場合は，「x, y, z のうち少なくとも1つが1に等しいこと」を証明すればよいのだが，それは問題文を見れば分かることであって，僕が言いたいこととは違う．条件として式が与えられていて，示すものが式で書かれているならまだ楽である．しかし，今回は条件として式が与えられていて，示すものが言葉で書かれている．この場合は条件式を言葉で表して，「言葉→言葉」の論証で攻めるか，示すものを式で表して，「式→式」で攻めるかどちらかである．論証より「式→式」の方が楽だと思う．つまり「x, y, z のうち少なくとも1つが1に等しい」ことを数式で表すことを考えなければならない．「3つのうち少なくとも1つは1」ということは，最低でも1つは1ということ．つまり，1つが1でもいいし，2つが1でもいいし，3つとも1でもいいということ．x, y, z のうち少なくとも1つが1に等しい ⇔ x = 1 または y = 1 または z = 1となる．しかし，これではまだダメだ．「または」っていう言葉が入ってるからね．このままでは難しいので次の問題を考えてみよう．この逆はよく使っていると思う．2次方程式を解く際に絶対使っている事項だ．a, b のうち少なくとも一つは 0 ということは，a = 0 または b = 0 ということ．つまり，積が 0 ということ．次にこれを発展させていく．a, b の少なくとも一方が 1 に等しい⇔ a = 1 または b = 1⇔ a - 1 = 0 または b - 1 = 0ここまで来れば分かりますね．a, b の少なくとも一方が1に等しい ⇔ (a-1)(b-1)=0元の問題に戻ります．x, y, z のうち少なくとも1つが1に等しい⇔ x=1 または y=1 または z=1⇔ (x-1)(y-1)(z-1)=0ということですね．これで示すべき等式が得られました．あとは書く量を減らすために，「文字の置き換え」という工夫をします．具体的には，x-1, y-1 z-1 をそれぞれ他の文字，例えば a, b, c とおきます．x+y+z=3 は a+b+c=0 と書き換えることができます．この結果，次のように問題を単純化できます．こうなればかなり簡単ですね．前にも書いた公式を利用することは見え見え．ってことで証明は次のようになります．

2007.02.01

ポテトまたはナゲット

ファーストフードでのメニューなどでは，「ポテト」または「ナゲット」と書かれている場合，どちらか一方のみである．しかし，数学における「または」という言葉はそれとは異なる．数学において「A または B」の意味は，「A」「B」「A, B 両方」のどれかである．ただし，二つの事象が同時に起こらない事象であれば，どちらか一方ということになるが・・・日常で使う「または」と数学における「または」の解釈の違いが，より数学を難しくさせているのかもしれない．

2007.01.31

等式の証明第5弾

次の問題を考えてみてください．

2007.01.31

比例式

等式の証明の第4弾！今回は「比例式」について．比例式って何？っていう人の為に．この問題で与えられている条件式のことを比例式って言います．つまり，「比の値」が等しいことを示す式のこと．比例式は k とおくのが鉄則！ということで証明です．

2007.01.31

授業がない火曜日

2月末までは火曜日は授業がない日になっている．ただ，19時以降は福井校舎に中3生や高3生が自習しに来る．したがって，18時頃までは舞鶴校舎にいて，その後福井校舎に移動して質問受付係となる．僕の頭の中にある知識の整理としてブログを書いていこうと思う．でも現在福井校舎にはTeXを使える環境にないため，数学記事が書けないのが残念．さらに火曜日の授業後は上司であるたか先生と外出して色々な話をしているため，4時頃まで更新できません．さて・・・今から福井校舎に移動します．

2007.01.30

因数分解公式の導出～3次式～

さっきの記事で使った因数分解公式の導出をします．

2007.01.30

どうせ書くなら格好良く♪～等式の証明～

それでは等式の証明の具体例第3弾．条件式が1次式だから，原則の一文字消去．x と y についてはどちらも次数が同じなので，どちらを消去しても構わない．しかし，y の式より x の式の方が見慣れているため，y を消去して x の式にする．あとは x の方が y に比べて書く時間が短くて済む．スピードは重要ですよ～！次は式を見て左辺はすぐに「対称式」と分かるので，基本変形を元にした証明．次は前の記事で書いた「0」に着目する証明方法．ここで，因数分解が難しいと思うかもしれないが，実は因数分解公式そのまんま．この公式において，a=x, b=y, c=-1 とすればよいが，そんなの気付かないと言われそうなのでもう一度言います．x+y-1=0 なんだから，（左辺）-（右辺）=(x+y-1)×□ となるはず．で，3次式の因数分解で片方が3項式ということは上記の公式でいけるんじゃないの？という感じです．ただ，実際にはこの問題では，証明2を選びますね＾＾；だって書く量少ないし，格好良いからね♪

2007.01.30

2文字の対称式

次の具体例を出す前に必要な事項を一つ．「対称式」について．x,y の対称式とは，x と y を入れ替えても元の式と同じ式になる式のこと．その中で最も簡単な x+y, xy を基本対称式という．x+y において，x と y を入れ替えると y+x となりこれは元の式と同じ．xy において，x と y を入れ替えると yx となりこれも元の式と同じ．そして，次が対称式の最大のポイント．全ての対称式は基本対称式のみで表すことが可能．つまり，2文字の場合，次のように表すことができる．(4),(5)については x+y, xy で表されていないが，(1),(2)を用いればよいので通常はここで変形を止める．

2007.01.30

等式の証明～条件つき～

条件がある場合の等式の証明の具体例．条件式が1次式であれば，原則は一文字消去．文字数が少ないほど，式はより簡単になります．だから一文字消去することによって，式を簡単にして証明しやすくするということ．この場合，a=-b-c, b=-c-a, c=-a-b の3通りから選ぶことができます．どれにするか？どれでもいいということはなく，見るべきところがあります．各文字の次数に着目しないといけない．最も次数が低い文字を消去するべきですね．なぜか？a=-b-cを代入してaを消去するとなると，2乗の展開をしないといけない．2乗くらいなら良いのかもしれないが，5乗ならどうだろう？好きな人はいないと思う．ってことで最低次数の文字であるcを消去ってことです．一文字消去の場合，証明方法は両辺ともに同じ式に変形する(ii)の方法を選ぶことになります．次にテクニカルな証明の紹介．大抵の問題集には別解として書かれている方法です．しかし，何故そのような証明ができたのか？ということにはほとんど触れられていません．この証明方法は決して思いつきや行き当たりばったりでたまたま成功したわけではありません．証明できる理由があります．ということでその部分を説明します．ここからは超重要部分！ってことで口調を変えて説明する！今しようとしていることは「等式の証明」．つまり，左辺と右辺が等しいことの理由を述べなければならない．証明方法(iii)を選べば，（左辺）-（右辺）=0 になる理由を述べなければならない．ここで，条件なるものが存在し，それが a+b+c=0 となっている．「0」っていう数字に着目だ！この条件がなければ，（左辺）-（右辺）が0になる理由はなくなる．この条件があるからこそ，（左辺）-（右辺）=0 となる．つまり，（左辺）-（右辺）=(a+b+c)×□ とならなければならない！これ以外の形では，絶対に（左辺）-（右辺）=0 とはならない．したがって，（左辺）-（右辺）を因数分解すれば必ず a+b+c が出てくるという自信を持って計算していけばよい．決して思いつきやひらめきで証明2があるわけではない．ただ，この1問だけだと，やっぱたまたまじゃないの？って思われるので違う例も紹介していきます．お楽しみに♪

2007.01.30

等式の証明～条件がない場合～

とりあえず具体例一発目．前の記事で書いた「簡単な式」「複雑な式」とはどういう式なのか？ここで言う「簡単な式」とは「手を動かさなくても容易に展開できるような因数分解された式」や「非常に単純な単項式(この表現は許して欲しい)の和や差で表された式」のこと．「複雑な式」とは「累乗(2乗とか3乗のこと)の和や差で表された式」で展開するのも嫌になるような式のこと．この問題で言えば，左辺が簡単な式(ここはあえて突っ込まないで下さいm(_ _)m)で，右辺が複雑な式ということになる．基本に従えば，(i)の方法ですることになる．つまり，複雑な式である右辺を因数分解することによって左辺を導くという方針．等式の証明で行う因数分解はこうなるという「答え」が見えているから，自分で考えなくても良いという意味で「簡単」ですね♪そんなわざわざ因数分解しなくてもいいんでは？ってなるのは分かります．でも「因数分解されている式に向かって変形していく力」は絶対必要だと思います．あとは実際に分かっていなくても，所々省略して正しい証明として見せることができます(笑)ってこんなこと書いたらまずいかもしれませんが，「見せる解答」もテクニックの一つですからね．ただ，これくらいの等式であれば展開してしまった方が速いです・・・だから大抵は次の証明IIでするでしょう＾＾；

2007.01.30

訂正

先ほどの記事で，等式の証明方法は3通りしかないと書きましたが，実はもう一つあります．僕の中で，勝手に範囲を「数2」としていました．「数B」を範囲に含めると「数学的帰納法」という方法もあります．まだ忘れている方法があるかもしれません．お気づきの方はコメントかメールして下さいm(_ _)mとりあえずは数2で扱う等式の証明について書きます．

2007.01.30

等式の証明方法

等式の証明方法について書きます．ある等式を証明せよと言われれば，上記の3通りしか方法はありません．(i)の方法は，左辺を変形して右辺を導く方法．当然であるが，右辺を変形して左辺を導いてもよい．等号なんて「左辺と右辺が等しい」という意味しかないからね．一般的には，片方が複雑な式で，もう一方が簡単な式のときに使う方法である．複雑な式をもう一方の式を見据えて簡単な式に変形していくと証明が完了する．(ii)の方法は，両辺をそれぞれ変形して同じ式を導く方法．一般的には，両辺とも複雑な式で，(i)の方法では難しい場合に使う方法である．両辺ともにできるだけ簡単な式に変形すると証明が完了する．(iii)の方法は，両辺が同じ式って言ってるんだから引けばなくなって0になるだろっていう方法．条件が付いていない等式の証明では(i)か(ii)の方法で解決できるため，一般的には，条件が付いている場合の証明に用いる方法である．テクニカルな証明をしたいときに良く使われる．

2007.01.30

嬉しい

今日は高1の授業だった．授業自体は22時半に終わる．しかし明日はテストがあるということで，二人の生徒から「残って分からない所を教えてくれる？」と聞かれたため，快く承諾．テスト前だけでなく，時間は気にせず普段もどんどん質問していいからね？明日のテストに今日やったところが出れば最高だ♪

2007.01.30

マンガ預かり

今日は中3国語の補習。またマンガを持って来ていたので、預かることになった。

2007.01.29

ラクチュコピクリン

TV番組「発掘あるある大辞典」の捏造が話題になっている．レタスには催眠効果がある「ラクッコピコリン」という成分が含まれていると紹介していた．が，そんな成分は存在しないらしい．正確には「lactucopicrin」(ラクチュコピクリン)らしい．しかし，ネットで検索すると，至るところに「ラクッコピコリン」と記載されている．TV番組の影響力の大きさを再認識した．

2007.01.29

mediafire

データの容量が大きいとき，持ち運びに苦労しますが，そんなときはネットを通すと楽．よく使われるのがヤフーのブリーフケースかな？ただ一度にアップロードできる容量が決まっていて使えないときがある．そこでオススメなのがmediafireというサイト．登録無料で容量無制限．サイト自体が少し重いんですけど，それを気にしなければ結構使えます．

2007.01.29

LaTeXで化学構造式

「化学の製作ソフトを探している」というメールを貰ったのでお答えします．TeXは今や数式だけでなく，色々なパッケージが存在します．その中には化学構造式の記述ができるものもあります．僕が使う機会はないですが，正常に動くか試してみました．ちゃんと動きました♪ただ，当然ながら普通にTeXを扱うより複雑です．上の図は「LaTeXで化学構造式-XyMTeXの紹介」で説明されているソースをコピーしてTeX処理したものです．コマンドは理解できますが，使いこなすのは難しそうです．

2007.01.29

TeX用エディタ

TeX用エディタには色々ありますが，僕が使っているのは「LabEditor」です．他にもいいものはあるのでしょうが，長年使っているのでもう離れられない．TeXには色々コマンドがありますが，ほとんど覚えてないのが現状．B5縦・横，A4縦・横などの設定もしないといけないのですが，登録してあるのでそれをクリックするだけで下地ができあがる．さらには必要なものはすべて登録してあるので，忘れたコマンドでも最初の2文字ほど打つだけで補完入力してくれます．それでも図，グラフは一つ一つ入力しなければならないので時間はかかります．一つの例を挙げておきます．\documentclass[b5j,12pt]{jarticle}\usepackage{emathP}\usepackage{itembbox}\begin{document}\begin{itemsquarebox}[l]{公式}$\begin{aligned}[t]\int^{\beta}_{\alpha}(x-\alpha)(x-\beta)dx=-\bunsuu16(\beta-\alpha)^3\end{aligned}$\end{itemsquarebox}\end{document}上記のソースをTeX処理すると，以下の結果が得られます．

2007.01.28

条件付き最大値問題

E'z先生の記事で扱われた問題．まずは一般的な解法から．範囲は数I．なぜx+2yをkをおくのか？「xとyがバラバラに動いて困るから」ですね．2文字が動くより，1文字が動いた方が考えやすいでしょ？これによりx+2y=kと一次方程式の形になるから，することと言えば一文字消去．ということで与えられた条件がyに関する二次方程式になります．ここで問題文の「実数」というのがポイントとなってきます．「ある実数が2次方程式を満たしている」 ⇔ 「判別式が0以上」これで解けますね．次は数IIで円と直線を使った解法．解Iと同じようにx+2y=kとおきますが，捉え方が異なります．一次方程式の形だから直線と捉えることができます．さらに，与えられた条件は円と捉えることができます．両方同時に満たさないといけないから，直線と円が交わらないといけない．ということで直線が円と共有点をもつ条件を考えれば解けますね．解IIIは解IIと同じように与えられた条件を円として捉えますけど，パラメータ表示にもちこみます．x=cosθ，y=sinθとおいたあとは三角関数の最大値問題に帰着できる．あとは「三角関数の合成」を使えば解けますね．範囲は数II．解IVは是非使えるようになって欲しい解法．範囲は数B．

2007.01.28

放物線と接線と面積

1998年一橋大学の第4問でも出題されている有名問題．この問題に関して，導出方法・結果をしっかり覚えておこう．

2007.01.28

やりがい

今日は高2生に今年のセンター試験を解いてもらった．結果は・・・とてもじゃないがお見せできない(泣)逆に考えればこれ以上悪くならない．やればやるだけ上がるはず．よ～～～～し！頑張るぞ！

2007.01.28

休憩中

やはり気が引き締まってない… 忘れ物をする者が続出… 困ったものだ。

2007.01.27

残り37日

高校入試まで37日．長いようで短い．未だにマンガを持って塾に来る奴がいる．意識が足りなさ過ぎる．喝を入れておこう！

2007.01.27

模試を受けた後

ただいま帰宅．寝る前に記事を一つ．高2の生徒からのメールによると，今日マーク式模試があったみたいだ．模試を受けることによって，自分が現在どれくらいの学力かということを把握することはできる．しかし問題なのは現在の学力ではない．大学入試を受ける時点での学力が問題だ．模試の結果が悪いからと言って落ち込む必要はないと思う．模試で解けない問題があれば，「ここが君の弱点だよ」と教えてくれているのだから，その問題をしっかり復習して二度と間違えないようにしていけば良い．同じ模試を2回目受けたときに，満点であれば問題ないと思う．一番ダメなのは，模試を受けた後何もしないことだ．それでは模試を受ける意味がない．払ったお金も無駄だし，時間も無駄．最近頑張っている高2生のほとんどが数学の偏差値は40～50．今回の模試では頑張った結果が出ないかもしれない．でもそこで諦めたら絶対ダメだ．やれば必ず成績は上がる．まずは徹底して基礎力を付ける．今やっているのがそれだ．コツコツやっていこう！

2007.01.27

到着

やっぱり遠いな… さて、今から補習開始～♪

2007.01.26

中3補習！

今日は休みを返上して出勤。舞鶴校舎へ行ったけど、高2生が一人質問に来ただけだった。そのおかげと言っては何だけど、色々仕事が出来た。今は福井校舎へ移動中～移動後は中3生の補習だ！その後はミーティング。

2007.01.26

放物線と直線で囲まれる図形の面積

前の記事を発展させるために必要な問題．ここで，上記の積分計算では次の公式を使っています．その証明です．厳密には数3の積分計算を使ってますが，数2までの生徒も覚えておくべきでしょう．結局xの2乗の係数と2交点のx座標だけが分かれば，放物線と直線で囲まれた図形の面積は次のようにして求めることができる．

2007.01.26

放物線の接線の交点

放物線の接線に関する問題でいろいろなところで見る問題．「交点Rのx座標が2点P,Qの中点のx座標と等しい」ことを覚えておこう．

2007.01.26

帰宅

明日は金曜日で僕の授業はなく休みの日となっている．マキバオー先生がかりん先生の塾にもう一日滞在するということを知り，早速明日行こうと思ってメールをしたんだけど・・・あとで気付いたんだけど，金曜日の夜にはミーティングがあった．ってことは夕方にはかりん塾を出ないと帰って来れない・・・で，とりあえずマキバオー先生と電話で話をし・・・かりん先生ともお話させていただいた．結局，明日はかりん塾の雰囲気を味わえないみたいなのと，僕自身が夜には帰らないといけないので，また次の機会にお邪魔させていただくことになった．ということでいつかお邪魔させていただきます♪

2007.01.26

管理画面

さっき少し見ただけでじっくり見てないが、管理画面が変わってた。前のに戻った感じ？

2007.01.25

アクセス数

以前と比べて，アクセス数がぐっと底上げされた感じがする．最近では50件の履歴のうち，半分くらいが携帯からのアクセスになっているときもある．アクセス数が増えることは嬉しい反面，より良い記事を書かなければ・・・という気持ちになる．頑張ろう．

2007.01.25

放物線上の点における接線

放物線について，変化の割合，直線の方程式，三角形の面積(証明)と扱ってきました．今回のテーマは接線．まずは一般的な解答から．以前書いた「2点を通る直線の方程式」を用いて点Pにおける接線を求めます．これを使うと「放物線上の2点を通る直線」でも「放物線上の点における接線」でも同じように求めることができます．

2007.01.25