おまけのおまけ、音楽とは何の関係もなくなってきましたが、犬君の方向転換の回数を計算してみました！かなりややこしくなりますし、何の得にもなりませんが、ご興味ある方はご覧いただければ幸いです。
スタートして、まず犬君がB君のもとに到着したときのことを考えます。（下の図の中段です。）このとき、犬君はB君の6倍の速度で走ってきましたので、犬君の走った距離はB君の6倍です。すなわち犬君は、最初の距離（1000メートル）の6/7を走ったことになります。ちなみにB君は1/7ですね。このときA君はどこまで進んできたかというと、B君の2倍の速度で歩いていますから、最初の距離（1000メートル）の2/7を進んできています。
したがって、このときの犬君（＝B君）とA君の距離は、最初の距離の6/7-2/7＝4/7 に縮まっていることがわかりました。この距離を仮に「二番目の距離」と呼びましょう。
さあここから犬君は方向転換をして、A君のもとに走り始めました。今度は、犬君がA君のところに戻ってきたときのことを考えます。（上の図の下段です。）犬君はA君の3倍の速度で走ってきましたから、犬君の走った距離はA君の3倍です。すなわち犬君は「二番目の距離」の3/4を走ったわけです。A君は1/4です。このときにB君はどこまで進んできたかというと、A君の半分の速度ですから、1/8を進んだわけです。したがって、このときの犬君（＝A君）とB君の距離は、「二番目の距離」の3/4-1/8＝5/8 に縮まっているということがわかりました。
「二番目の距離」は最初の距離の4/7でしたね。それの5/8ですから、4/7掛ける5/8で、5/14 となります 。犬君が最初に往復したときに、A君とB君の距離は、最初の距離の5/14 に縮まったことがわかりました！
このあと犬君は何度か往復するわけですが、1回往復するたびに、A君とB君の距離は、その前の
5/14 に縮まっていきます。
そこで、電卓で計算した結果を書いてみます。
犬君が往復した回数と、方向転換した回数と、その時点でのA君とB君の距離です。
スタート時 1000メートル
1往復 1回 1000×5÷14≒357.14
2往復 3回 上の値×5÷14≒127.5510
3往復 5回 上の値×5÷14≒45.5539
4往復 7回 上の値×5÷14≒16.2692
5往復 9回 上の値×5÷14≒5.8104
5往復すると、もう6メートル弱なのですね。犬君もう少しだ、頑張れ！
6往復 11回 上の値×5÷14≒2.0751
7往復 13回 上の値×5÷14≒0.7411
7往復すると、もう74cm。大きい犬ならもう体長分でカバーしていますね！どこをゴールとするかは考え方ですが、今回方向転換をメインに考えていますので、犬君の頭が振り返ったのを方向転換とするとして、もうちょっと行きましょう。
8往復 15回 上の値×5÷14≒0.2646
26cm。まだ頭が振り返る余地があるかな。そこで犬君は最後に、A君からB君に向かい始めましたた。するとすぐにB君に到着。このときはA君とB君の距離がさらに4/7に縮まっていますので、
8往復半 16回 上の値×4÷7≒0.1512
15cm！さすがにもう、犬君は振り返る余地もなく、めでたく三者ががっしりと抱き合うのでした！おめでとう！かくて方向転換は、16回でした。
お疲れさまでした（＾＾）。ここまで読んでいただいた方、ありがとうございました。
