走り続けるｍａｚｒａ日記

[数学ネタ] カテゴリの記事

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• 後期選択数学１２回目

  今日が、選択数学の最終回でした。お題は、「立体の切断」と「迷路」。最初は、「立体の切断」から。これは、以前は１年生の教科書に結構載っていた内容です。最近は、ほんの少し触れられるだけ。立方体の切断なんて面白いんですけどね。ということで、メインは立方体の切断。３点を与えて、切断面を考えさせるんだけど、経験がないので、生徒は迷うばかり、、、やはり、立体感は教えないと難しいですね。後半は、「迷路」。だいたいは簡単なんだけど、最後の１問だけ難問。私も解けませんでした（爆）。まあ、それも愛嬌。感想を書かせたら、結構楽しんでくれたようで「難しくてほとんど自分で解けなかったけど、楽しかった。」ってのが多かった、、、こんな問題、入試には出ないんですけどね。

  2006.03.01

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• 後期選択数学１１回目

  本日のお題は、「正多面体」と「折り紙・メビウスの帯」。「正多面体」では、まず「オイラーの定理」を紹介しました。多面体では、（頂点の数）＋（面の数）-（辺の数）＝２という定理です。中学生は知りません。結構驚いていました。この定理を使うと、正多面体が５種類しかないことが証明できます。この場合の「正多面体」というのは、凸正多面体のことです、、、あしからず。難しい話ですが、生徒は興味を持って取り組んでいました。後半は「折り紙」。折り紙で、その半分の面積の正方形を作れ、、、とか、１／５の面積の正方形を作れ、、、とか。正三角形を折れ、、、とか。短冊を使って、正５角形を折れ、、、とか。遊んでますね（笑）。その後、短冊の端の表と裏を張り合わせて、「メビウスの帯」を作らせました。で、この真ん中を切っていくと、、、どうなる？で、さらに真ん中を切ると？、、、ってことをさせました。次回で、選択授業も終わり。何しようかな～

  2006.02.22

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• 後期選択数学１０回目

  本日のお題は、「相似」と「矢っかいなパズル」。「相似」は、３年生で学習するのですが、三角形の相似条件位までで、終わり。以前のように、相似な図形の面積比とか体積比の勉強はしません。そこで今回は、そこらへんの話題を中心に取り上げました。でも、予想以上に苦しんでいました、、、ついでに、球の表面積と体積の公式も教えました。（もう今の課程では、中学生は学習しません）で、さらについでに「微分」の話も、、、これは、サッパリ分かっていなさそう（笑）。後半は「矢っかいなパズル」。これは、盛り上がりました！それも、最初に六角形ﾊﾞｰｼﾞｮﾝからしたのが、良かった！こっちは、ノーヒントで出来る生徒もいました。もう１つ、正方形ﾊﾞｰｼﾞｮﾝ（こちらが普通）は、ノーヒントで出来る生徒はいませんでした。残念！でも、「答は聞きたくない！」という生徒がいて、正解は、来週まで取っておくことに。こういうのが、良いね。

  2006.02.15

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  後期選択数学９回目

  本日のお題は、「平面図形の難問」と「Ｔ字パズル」。「平面図形の難問」は、小学生の知識でも解けるのに、きっとほとんどの中学数学科の教員は解けない（爆）問題。たった３問（しかも、辺の長さや角度を求めるだけ）なのに、５０分かかりました。しかも、ヒント出しまくりです。（情けない！）ちなみに、１問目は、下の図で、四角形ABCDは、正方形で、BE＝３cm、DF=５cmです。AFが∠EADの二等分線のとき、AEの長さを求めなさい。というもの。分かるかな？後半は、有名な「Ｔ字パズル」。温泉旅館なんかに、置いてあるアレですよ（笑）。これで、１０種類の形を作らせましたが、５０分で全部出来た生徒は、、、いませんでした（泪）。これもバカに出来ませんね。さて、ご質問がありましたので１問目の正解です。上のように、△ＡＢＥの辺ＡＢを辺ＡＤと合わせるようにします。そうすると、図形ＡＦＤＥは、△ＡＦＥとなります。ここで、∠ＢＡＥ＝∠ＤＡＥ（×）ＡＦは、∠ＥＡＤの二等分線より、∠ＥＡＦ＝∠ＦＡＤ（○）また、、ＡＢ//ＣＤより、平行線の錯角は等しいから∠ＢＡＦ＝∠ＡＦＥ（○×）よって、∠ＥＡＦ＝ＡＦＥ（○×）２角が等しいので、△ＡＦＥは、ＡＥ＝ＦＥの二等辺三角形よって、ＡＥ＝ＥＤ＋ＤＦ＝３＋５＝８ｃｍお悩みが解けたでしょうか？

  2006.02.01

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• 後期選択数学８回目

  本日のお題は、「円についての諸定理」と「コインパズル」。「円についての諸定理」ですが、今の教科書では、２年生で「円周角の定理」を学習するのみです。今回は、「円周角の定理」「円に内接する四角形の定理」「円外の点から引いた接線の長さの定理」「接弦定理（接線と弦の作る角の定理）」この４つを教えました。たった２５分ほどで、理屈から使い方まで！昔、教科書に載っていた頃なら、４時間はかかるお話し。で、速攻、練習問題を８問。結構理解してました。予想以上でしたね。結局、教科書に載っていなくても、一応「円周角の定理」などを使えば、解ける問題ばかりですから、入試に出ない保証はありません。知っていた方が、有利ですな。後半は「コインパズル」。同じ大きさのコインの周りを１周すると、そのコインは何周回るでしょう。と言う問題から。答は、書きませんので、１０円玉２枚で、やってみてください。予想外の答ですから。その答の理屈を説明したけど、、、結構分かんないって顔してました（笑）。後は、その応用で、２枚のコインの周りとか、３枚とか、、、今回もまあまあ楽しそうにしていたので、ＯＫかな？

  2006.01.25

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• 後期選択数学７回目

  今日のお題は、「三角形の４心」と「マッチパズル」。「三角形の４心」とは、内心、外心、重心、垂心のこと。中学校の教科書には、内心、外心、重心の３つは以前は出ていましたが、最近の教科書には言葉としては出てきません。垂心は、高校の教科書でも消えたのかな？生徒には、作図の練習としてもやらせてみました（笑）。初めてこの内容を学習したときは、３本の線がどうしてこうも１点で交わるのか、、、不思議で美しかったです！これが、数学の芸術だと思うんだけどね。「マッチパズル」は、簡単なつかみの問題から入って、２問目は、「マッチ棒１２本で面積が９～２の図形を作りなさい。」というもの。マッチ棒を余らせたり、折ってはいけません。お試しを。３問目は、「マッチ棒１２本を使って、正三角形が６つだけ作りなさい。できたら、そこから２本ずつ移動させて、正三角形の数を１つずつ減らしなさい。」というもの。これまた、お試しを。

  2006.01.18

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• 後期選択数学６回目

  今回のお題は、「対称・移動」と「ポリオミノ」。まず１時間目は「対称・移動」。線対称や点対称については、１年生の教科書で触れられますが、平行移動、回転移動、対称移動などの言葉は、教科書では学習しません。これは、比較的簡単なお話だったようです。２時間目は、「ポリオミノ」。その中の「ペントミノ」が、有名ですね。でも、本当に一番有名なのは、「ドミノ」。そう、あの「ドミノ倒し」の「ドミノ」。「ドミノ」って言うのは、正方形を２つくっつけた形って事です。言われてみれば、、、そんな気もしません？正方形を２つくっつけると「ドミノ」、３つだと「トリミノ」、４つで、「テトロミノ」、５つで、「ペントミノ」、６つで、「ヘクソミノ」、、、この総称が「ポリオミノ」です。「ドミノ」は、１種類しか作れません。「トリミノ」は、２種類、「テトロミノ」は、５種類、では、「ペントミノ」は、何種類作れますか？って、問題でした。答は１２種類です。お暇なら作ってみてください。最後に、「立方体の展開図は何種類作れますか？」これは、小学校でしたことのある生徒もいて、案外簡単そうでした。今回は全体的に簡単なお題だったようです。

  2006.01.12

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• 後期選択数学５回目

  今日のネタは、「いろいろな関数」と「論理パズル」。「いろいろな関数」では、まず「二乗に反比例する関数」。以前は、教科書に少し載っていましたが、今では皆無です。例えば、光の強さは、距離の二乗に反比例します。２倍離れると、光の強さは、1/4です。難しい話ですが、引力（重力）は、質量に比例し、距離の二乗に反比例します。これを使って、「なぜ月の重力は地球の1/6か？」を考えさせました。ちなみに、月は、地球の1/80の質量で、月の半径は、地球の1/3.7です。分かります？（生徒の目が泳いでいました！爆）次に「指数関数」。例題として、「今日は10円、明日は20円、明後日は40円、次の日は80円、、、　さて、３０日後には、いくらもらえるでしょう？」みずほ証券でなけりゃ、払えません（笑）。後半の授業は、「論理パズル」。これは、有名な問題を４問ほど解かせました。最後の１問までは、時間不足だったので、来年までの宿題。さ～て、だれかできるかな？

  2005.12.14

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• 後期選択数学４回目

  今回のお題は、「円の方程式」と「ゲームの達人」。「円の方程式」は、中学校では全く学習しません。でも、一次関数、二次関数、、、と来て、これもついでに学習しておけば、一連の関数の式とグラフの関係が、よく分かるんです！（生徒は、首をかしげていましたが、、、）１０分位時間が余ったので、「運試し」をしてやりました。３ケタの整数を思い浮かべてください。何でも良いです。例えば「１２３」などなど。で、これをもう一度書いて「１２３１２３」のように、６ケタの数にしてください。これが、例えば２や３で割り切れたら幸運ですよね。では、７で割ってみてください。１２３１２３÷７＝１７５８９見事に割り切れました！運が良いですね。では、さらにこの答を１１で割ってみてください。１７５８９÷１１＝１５９９また割り切れました！では、この答を１３で割ってみてください。１５９９÷１３＝１２３凄い！また割り切れました！アレ！この答えどこかで見ましたね。最初の数です。つまり、どんな数を思い浮かべても繋げた６ケタの数は７，１１，１３で割り切れるんですよ～その後、「ゲームの達人」をしました。これは、実物を見ないと分からないと思いますが、「犯人を捕まえろ！」というゲームと「前進ゲーム」というものです。どちらも必勝法があるのですが、「前進ゲーム」の方は、必勝法が分かった生徒はいませんでした。でも、結構盛り上がって、まあまあ良かったかな。

  2005.11.30

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• 後期選択数学３回目

  今回のお題は、「二次関数」と「ジレンマ」。「二次関数」は、３年生で学習する「二乗に比例する関数」を拡張というか、一般的にした関数です。このグラフや二次方程式との関連を教えましたが、、、反応は？？？？？あまり分かっていないようでした。「ジレンマ」は、面白がっていました。その中の１題。有名な「囚人のジレンマ」です。『２人で罪を犯したあなたと共犯者は、互いに相談出来ない環境にあります。このまま、２人とも何も証言しなければ（黙秘すれば），お互いに懲役３年となり、相手の罪を証言すれば，自分は無罪になり、相手は懲役１０年の判決が下ります。ただし、２人がお互いに相手の罪を証言すれば、２人とも懲役８年となります。　さて，あなたは一体どうすれば良いでしょうか？』

  2005.11.16

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• 後期選択数学２回目

  でした～。今日のお題は「１次関数」と「確率」。平凡そうですが、「一次関数」では、最終的に「点と直線の距離」を求めさせました。今の教育課程では、学習しません。（直線の垂直条件を学習しないので）「確率」もこれまた平凡そうですが、例えば、１問目は、「ｺｲﾝを２枚投げたところ、１枚が表と分かっているとき、もう１枚も表の確率を求めなさい。」というもの。ちなみに、答は「1/2」では、ありませんよ！

  2005.11.09

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• 後期選択数学１回目

  先日、後期の１回目を行いました。前期は２３人でしたが、後期は２９人、、、増えるんだ、、、前期はかなり難問を揃えたので、減ると思ったんだけどね。でも、手加減はしません（笑）。１回目は、「三平方の定理」と「１０ゲーム」。「三平方の定理」は、３年の最後に習うんだけど、これから関数や図形の学習をさせるのに、必要なので早めに教えました。まあ、単純な定理なので大丈夫でしょう。「１０ゲーム」は、適当な１～９の４つの異なる数字を使って、四則演算と括弧だけで１０を作る。というゲーム。全部で１２６通りの組み合わせがあるので、１２６通り全部作る！に、挑戦させました！！！もちろん、１時間では出来ません。残りは宿題、、、、、ということで。でも、このゲーム、「頭がおかしくなりそう！」と叫びながら全員やってました、、、１時間も。別の教科の時間に隠れてやっている奴もいたそうで、、、こんなのが面白いんだ！？一度お試しを。

  2005.10.29

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• 選択数学９回目

  今回が、前期の最後でした～。１時間目は、「数列」。高校で学習する、等差数列と等比数列、そして、その和。簡単に思えて、結構悩みます。あと、難しいと思っていたのは、Ｓ＝1+2+4+8+16+32+64+128を素早く計算する方法。高校生以上なら、公式として覚えているかも知れませんが、公式を知らないとして、求めることが出来ますか？２時間目は、「規則的な数字」。フィボナッチ数列や他の規則性を求める数列問題を出しました。結構盛り上がって、出してみて良かったかな。生徒に感想を書かせたら、「難しくて、、、でも、出来たときは感動！普通の授業と違って、数学の奥深さが分かって良かった。」などなど。泣かせるジャン！さ～って、後期は何をしようかな？

  2005.10.19

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• 選択数学８回目

  今回で８回目でした。今回は、「２次方程式の解の公式」と「難解な文章題」。「解の公式」は、最近の中３では習いません。まあ、来年度の中３の教科書には、発展的内容として復活しますが、、、そこで、選択数学で学習する訳です。塾に行っている生徒は、知っている者も多くいますが、公式を作るところまでは、時間をかけて学習していません。それと、「ｂが偶数の場合の解の公式」を教えました。これは、私が中学生の頃は、学習しましたが、、、すぐに削除された内容です。でも、これを知っていると約分する手間が省けて便利なんですけどね。後半の「困難な文章題」は、案の定、困難でした（笑）。でも、誰もできないと言う問題はなくて、ちょっと安心。生徒は難しい！と良いながらも楽しそうでした。次回で、前期の最終回。次回は「数列」と「規則的な数字」。

  2005.10.14

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• 増える面積

  珍しく、１日に２つ目の日記を書きます（笑）。質問を受けたので、、、「８×８の正方形を４つのパーツに切り分けて、並べ替えると、５×１３の長方形になって、面積が６４→６５に増えてしまう」と言うパズルがあります。詳しくはこのサイト上のサイトには、解答も載っていますので、行ってみて下さい。

  2005.09.24

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• 選択数学５回目

  ちょっと前の話になってしまいましたが、先週の水曜に選択数学の５回目がありました。今回の１時間目は「巨大な数」。『４の300乗と３の400乗は、どちらが大きいか。』などを考えさせました。『１００枚で1cmの厚みの紙を５０回折り重ねたら、厚さはどの位か？』って言うのもね。お暇でしたら、考えてみて下さい。（天文学的数字になります）２時間目は、「虫食い算と覆面算」。答を持って行っていなかったので、出来なかったらどうしようかと焦りましたが、何とか出来て、ホッとしました。今回の学習の難易度は、そう高くなかったですね。

  2005.07.03

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• 選択数学４回目

  本日の１時間目は、「有理数と無理数」。最近は、塾でも教えないのか、知っている生徒はいませんでした。実際は、「実数と虚数」も教えたので、高校１年生の内容かな？こう考えると、高校１年も大変だよな。いきなり、有理数だ、無理数だ、実数だ、虚数だ、、、と言われるんだから。その中で、「有限小数、循環小数、非循環小数」などの話題も。で、最後は、「分母の有理化」を説明して終了。ちなみに、今の中学生はこの言葉を知りません。「分母を√のつかない形になおしなさい」ですから（笑）。で、２時間目は、「魔方陣」。３方陣は、早い生徒は１０分位で完成！４方陣は、早い生徒でも１５分位かかったかな？４方陣の作り方の規則性を教えると生徒は驚きますね。さらに、５方陣、７方陣、９方陣などの作り方を教えました。「平行移動法」「斜進法」っていう奴。コレを教えると、「こんなに簡単に魔方陣ができるんだ！」って、驚いてくれます。でもいまのところ、私の予想通り、その時間で完結してくれるのが、嬉しいやら、悲しいやら（予想以上に賢い奴はいない、、、ってことかな）

  2005.06.22

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• 選択数学３回目

  今回は、１時間目は「不等式」。これは、以前は中２で習っていましたが、今は中学時代には学習しません。でも、塾等では、教えてもらっているらしく、それ程困った顔はしてなかったですね。１時間で、基礎から応用問題（文章題）まで、済ませてしまいました～まあ、ほとんど１次方程式の解き方と一緒だからね。２時間目は「４つの４」の１年生ﾊﾞｰｼﾞｮﾝ。四則計算と、（　）と、0.4と、0.444444----＝4/9しか使わずに、０～２０までを作らせました。が！「１３」が出来ませんでした！私も､､､､､､､､､､情けなし。確か、１年生で出来た奴いたよな。ちょっと頭固くなってきたかな？

  2005.06.16

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• 魔方陣で、スッキリ！

  今日、１年生の授業で、時間が余ったので「魔方陣」を作らせました。まずは、３×３のマス目に、１～９の数字を１つずつ入れて、どの縦の和も横の和も斜めの和も等しくする、、、というもの。「和は、１５」だけでは、１０分位経っても１人位しかできません。で、ヒントとして真ん中は「５」と教えると、数人出来ます。さらに、左上は「２」と第２ヒント（笑）さすがに、続々と出来ました。すると、生徒が「あ----スッキリ！」、「あ-------------モヤット！」などと叫んでいます。ＴＶ番組の影響ですな。でも、生徒達が、授業を楽しんでいる様子が見えて、ちょっと良かったかな？その後、４×４のマス目に、１～１６を入れるをしました。さすがに、これはノーヒントは苦しいので、「和は３４で、中央の４つのマス目には、６　７10　11が入る。」と教えてやりました。これで１０分位で出来た生徒が２～３人。コレ位の刺激が、丁度良さそうです～

  2005.06.03

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