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[シュタイナー的　数学・幾何の話] カテゴリの記事

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• 無限遠

  こんどのメインレッスンは射影幾何学。なんじゃそりゃ？っていう人、多いよね。多分。メインストリームの数学の世界じゃ、あんまり取り扱われないもの。これは、無限遠の世界。ユークリッド幾何学で、　「平行な直線は、　　どこまで行っても平行のままで、交わることはない。」と言われた平行線は、実は無限遠で交わる。そして、直線。直線は、両側に限りなく伸びていく真っ直ぐな線のことだけど、その直線をたどっていくと、無限遠に達して、次の瞬間には、直線の反対側に行く。その概念は、実際に見ることができないけれど、思考によって、到達することができる。私は、この射影幾何学を何年か学んでいるから、この概念は当たり前のことのようになっているのだけど、初めてこれを学ぶ人にとっては、今までの概念を覆す、かなりショッキングな概念に違いない。１１年生で、これをやるのは、実は、生徒達の概念を覆すことが目的。彼らに、今までの考えが通用しないことをつきつけて、ショックを与える。そして、純粋な思考でもって、彼らが、あーでもない、こーでもない、と、深く考えるのが目的。さて、今、私は、このショックをどうやって彼らにぶつけるか、頭を悩ませている。私はこのクラスを教えたことがない。「彼ら、射影幾何学には程遠いよ」と、化学の先生は言う。そして、私に与えられた時間は、たったの７日＝１４時間。４週間のブロックのはずだけど、ＧＣＳＥ（試験）のお陰で、ここまで時間削減されてしまった。さて、どこまで彼らの思考を無限遠に近づけることができるか。

  2007年04月11日

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• へんなやつ

  ある１０年生。 うちの長男と遊んで（？）いる。 私が作った、 フィボナッチ数列のモデルを見せてる。 「これはね、君のママが作ったモデルだよ。」 「ここにはフィボナッチ数列が隠されてるんだ。」 「フィボナッチ数列っていうのはね・・・」 ちなみにうちの長男、２歳半。

  2006年12月01日

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• 兎の問題

  忘れてました。 兎の問題、紹介するって言ってましたね。 はい。フィボナッチがLiber Abaciの１２章で書いた 「兎の問題」です。 ***** １組の兎のペアがいます。 オスとメス。 大人です。 兎は、 毎月、兎の赤ちゃんをペアで出産する、としましょう。 つまり、最初（仮に１月１日としましょう）１組いた兎のペアが、 １ヵ月後の２月初日には、 １組の大人のペアと、１組の赤ちゃん兎のペアの、 合計２組がいるわけです。 赤ちゃん兎は、成熟するのに１ヶ月かかります。 それから、妊娠して、出産するまでに１ヶ月かかります。 つまり、生まれてから、赤ちゃんを産むまでに、 ２ヶ月かかるわけです。 産み始めたペアは、毎月、赤ちゃん兎のペアを１組産みます。 問題を理想化するために、 一度生まれた兎は、 死ぬこともないし、逃げ出すこともしないとします。 生まれるペアは、必ず、オス＋メスのペアです。 つまり、最初は１組だった兎のペアが、 １ヵ月後には、大人のペア１組＋赤ちゃんペア１組＝２組 ２ヵ月後には、大人のペア２組＋赤ちゃんペア１組＝３組 ３ヵ月後には、大人のペア３組＋赤ちゃんペア２組＝５組 となります。 さて、１年後の１月１日には、何組の兎のペアがいるでしょう。 正解は？

  2006年11月26日

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• 授業準備のお買い物

  先週末、メインレッスンのために買ったもの。 赤キャベツ。 そして、パイナップル。（笑） どっちも、フィボナッチ数列が隠れてるの。 でもねぇ・・・。 いまどきのお野菜って、 品種改良だの農薬だのの影響が強いのか、 形が変形しているのね。 赤キャベツのフィボナッチ数列は、 うまく現れてなかった。（涙） 試しに、家にあった白菜を見てみたら、 フィボナッチ数列・・・あった！ ということで、今日は、 二等分した白菜と、パイナップルと、松ぼっくりを持って、 授業へ行って来ました。 「料理の授業でもするの？」 と、夫にからかわれつつ・・・・。

  2006年11月22日

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• フィボナッチ

  明日から「フィボナッチ」のメインレッスンに突入。 １０年生です。 フィボナッチは、イタリアの数学者。 中世ヨーロッパ随一の数学者です。 彼の何が凄いかって？ ヨーロッパでは当時、ローマ数字が使われてました。 時計の文字盤とかに良く見かける、 ＸＩＩとか書くやつです。 因みに、 I=1 V=5 X=10 L=50 C=100 D=500 M=1000 を表します。 例えば、１０８６なんて数は、 MLXXXVI　と書きます。 ゼロもないし、 文字の羅列だけで位取りもない。 記録するには、何とかなるけれど、 これで、計算までしていたんですね。 例えば、 DCCXXVII - CCCXXXXVIIII なんて計算をする。 さて、やってみてください。 （実際に生徒にもやってもらいます。） 面倒でしょ。 難しいでしょ。 でもフィボナッチは、数学を勉強するうちに、 インドで生まれた記数方法（私達が現在使っているもの）が、 計算には便利だと言うことに気付いて、 それを普及させるために本を書いて出版したんです。 それが、先日書いた "Fibonacci's Liber Abaci" という本。 実は、インドの記数法は、 5世紀には発明されていたのです。 それがアラビアに伝わり、 アラビア人がヨーロッパに伝えようとしたけれど、 ヨーロッパ人は、東洋人の発明したものなんて、 受け付けられなかった。 というか、ゼロ、無、っていう概念が、 ヨーロッパ人には分からなかったんですね。 ということで、 フィボナッチが本を出版するまで、 インド式記数法は闇に葬られてしまったわけ。 この本が出版されたのは、１２０２ＡＤのこと。 発明されてから、 ヨーロッパ人が受け入れる準備ができるまで、 こんなに時間がかかっちゃったんですね。 さて、このLiber Abaciには、 有名な問題が載っています。 「兎の問題」と言われるものです。 さて、知りたい人、いる・・・？？？

  2006年11月20日

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• リンゴを持って

  明日はリンゴを持って授業に行きます。 黄金比と正五角形とその中に描ける★型は、 切っても切れないつながり。 ということで、 その黄金比の話は、★からはじまりはじまり。 ５pointed starが世界のどこに見れるか？ 五つ星レストラン。 ６０以上の国旗に。 商標のロゴにも。 古代から、星が意味していたものは？ ほら、自然の中にも。 花にも、ヒトデ（英語ではstarfish!)にも、 それからリンゴにもね。 はい。 リンゴを横から薄くスライスすると・・・。 ほらね、5 pointed starが透けて見えるでしょ。 と、みんなにリンゴのスライスを渡して、 みんなで食べるの。 （↑食べ物でつる教師） ふふふ。 ついでにユーリズミーの先生にもお願いして、 星の形のユーリズミーも一緒にやってもらいます。

  2006年11月15日

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• 欲しい

  幾何学的オブジェクトには目がない。 多くを手作りするし、 手作りする所がまた面白い。 ドイツへ行ったとき、 クラウスの家で、クラウスが見せてくれたのがこれ。 http://www1.ttcn.ne.jp/~a-nishi/oloid/oloid.html クラウスが持っていたのは、 石を彫って作ったクラウスの手作り版。 いやーん。 欲しいぃぃぃぃぃぃーーー。 作ってぇぇぇぇぇぇーーー。 と夫におねだりしたのでした。 さて、作ってくれるのはいつのことでしょう。 自分で作った方が早いかも。 発明したのはこの人↓　人智学的数学者です。 http://www.paul-schatz.ch/en/index.htm 彼の作ったThe Invertible cubeは、 私もボール紙で作ったんだけど。 http://www.paul-schatz.ch/en/invertiblecube.htm

  2006年11月09日

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• 

  Ernstの本

  先日オーダーしてあった本がドイツから届いた。"Der Geometrieunterricht an Waldorfschulen, Bd.3 --- Erste Schritte in die beweisende Geometriefur die 6.Klasse"by Ernst Schuberthドイツ語です。言葉は全くわかりませんが。幾何の本なので図を見ているだけで参考になる。RSCでアーンスト本人に、この本を見せてもらった。アーンストの授業をいくつもとっているので、書いてある内容は、想像がつく。大半は、授業で聞いたことのある内容。でも、最後の章は、ちょっと違う。図を見ただけで何となく想像つくけど、やっぱり彼の言葉を読みたくてウズウズしてる。幾何的な意味合いは、図を通して想像つく。でも、彼の教えることには、霊的な意味の宝庫。図だけでは、それは、分かり得ない。アーンストには、「ドイツ人の旦那に聞けばいいじゃないか。」って言われたけど、うちの旦那、「訳すのはいいけど、読むの面倒くさい。」と言ってます。アーンストの前では、うんうん、ってうなずいてたのに！！この本は、RSCプレスより英訳版出版予定。まだまだ出版までは程遠いようです。英訳出版まで待てないよ・・・。和訳出版されているアーンストの本。

  2006年09月02日

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• 幾何の本

  RSCのブックストアで何冊か本を買った。そのうちの１冊がこれ。"String, Straightedge, & shadow ---The story of geometry"by Julia E. DiggingsWhole Spirit Pressタイトルから分かるように、幾何の起源についてのお話。幾何がどうやって始まったか、ワクワクするようなお話が続く。本を見たとき、この話はエジプトから始まるかと思いきや、エジプト以前から始まる。"Geometry existed before the creation."とプラトンは言ったが、いや、まさにその通り。この本には、６年生の幾何の導入にもってこいのお話がつまってる。推理小説読むくらいに興奮しながら読みました。シュタイナー学校であれ、メインストリームの学校であれ、幾何を教える先生には読んで欲しいな。

  2006年08月19日

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• コンパス

  幾何に必要不可欠な道具のひとつ、コンパス。ピンからキリまであるのだけれど、やっぱり、いいコンパスが欲しい。安いのを買うと、上手く円を描かないと、すぐに調節がずれてしまって、円の描き始めと、描き終わりが微妙にずれたりして。とにかく、精密な作図をしたかったら、いいコンパスは必需品。昔は、建築などのテクニカル・ドローイングにも、コンパスは必需品だった。でも、コンピュータの発達で、コンパスなどというアナログな道具は使われなくなった。だから、今の時代、いいコンパスを作っている会社が少ない。ドイツの製図用品の代表的メーカーRotringだって、大量生産の方針を貫き、質の良いコンパスは、もう、製造していない。私の持っているのは、Rotringの５０００円ほどのもの。一応プロ仕様ではあるものの、数十年前の作りの良いコンパスとは程遠い。もう、いいコンパスは作っていないのか！？と、ツール・マニアで、なおかつ大学で建築を学んだ夫が調べてみたら、あった、あった。やっぱりドイツの、小さな会社ＨＡＦＦが、昔ならではの質のいいコンパスを未だに作っている。担当者と話をしたら、コンパスでは、もう利益が得られないけれど、会社のプライドで、質のいいものを、会社の続く限り作りつづけていくという。利益は、他の分野で得るから、と。実は、このコンパスを、学校のブックストアで売ろうと考えている。シュタイナー学校の幾何の授業では、たくさんの作図をする。いいコンパスは必需品。ところが、その辺の町の文具屋では、ろくなコンパスが売ってない。「ブックストアに行って買っておいで」と、来年からは言えるように。

  2006年07月02日

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• grip!

  今日の授業は、成功。あの白けたクラスがとびついてきた。やったぁ！内容は、ギリシャのソフィストの話から始めた。彼らがゲームとして楽しんでいた、幾何の作図。ゲームを面白くする為に、彼らはルールを決めた。作図をするのに、コンパスと目盛りのない定規しか使ってはいけない。つまり、定規は、直線を引く目的だけに使う・・・ということ。そんな話をして、生徒にソフィストになってもらって、問題に挑戦してもらう。「線分を二等分してごらん。」もちろん、楽勝です。「じゃ、角を二等分出来るかな？」もちろん、これも楽勝です。簡単な問題で、気分を良くさせたところで、次の問題。「それじゃ、線分を３等分できるかな？　定規で測っちゃダメだよ。」生徒たち、飛びついてきた！あーでもない、こーでもない、と苦戦。「ヒントあげようか？」と言ったら、「だめーーーっ。まだ考えてるんだからっ。」嬉しいね。その言葉。ま、それでもヒントを出しながら、何とか解答にたどり着く。そしてもう一問。「線分の二等分、角の二等分、線分の三等分ができたら、当然、つぎは、角の三等分だよね。」もう、真剣に考えてる生徒達。ほっほっほっ。適当に悩ませたあとで、話を始める。「ソフィスト達も、この問題には苦労しました。ソフィストの３大難問と言われるものの1つです。」と、ソフィストの三大難問の話をする。「結局、あるソフィストが、コンパスと定規だけでの作図を諦めて、道具を発明しました。」と、その道具を見せて、角の三等分をしてみる。それが、正しいことも証明させてみる。「他の数学者も、他のやり方を考えました。」そして昨日作図したコンコイド曲線を見せて、「これを使ったんです。」と、コンコイド曲線の話へと結びつけた。明日は、コンコイドをもう少し発展させた作図をします。ああ、楽しかった。

  2006年06月14日

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• ちょっとした円錐曲線の体験

  今日は、こんなことをしました。A4用紙いっぱいの大きさに円を描く。円周に沿って切り取って、円盤にする。好きなように円盤上に１点を決める。円周が点と重なるようにして、紙を折る。紙を開いて、少しだけ角度を変えて、円周が点と重なるようにして、また紙を折る。これを沢山沢山繰り返す。折り目が多ければ多いほど、綺麗な曲線が現れる。さて、どんな曲線が現れるでしょう？

  2006年06月08日

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• 抽象論の世界へ

  来週から教える９年生の幾何学メインレッスンは、conic sections.日本語では円錐曲線。円錐を平面で切ると、その角度によって、違った曲線が切り口に現れる。円、楕円、放物線、双曲線。日本でも、高校で勉強するけれど、このメインレッスンでちょっと違うところは、数式を教えないこと。数式を使って、これらの曲線を取り扱うのは、別の分野で。今回のメインレッスンは、これらの曲線＋他の曲線の性質を体験し、この像を、彼らの中に浸透させること・・・が目的。これは、ある意味で、無限遠（∞）の世界への第一歩。１１、１２年生でやる射影幾何学への足がかりとして、ここで無限のイメージを、彼らの中に種まきする。無限の世界。神秘の世界。でも、無限の世界を考えると、有限の世界の不思議が、ピッタリと理屈があってくるから、また不思議。でも。無限の世界は目に見えない。抽象思考で、無限の世界へ。さて、９年生。どこまでできるかな。

  2006年05月31日

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• 

  パズル

  これパズルだって。なに、なに？　正四面体と正八面体で何ができるって？へ？おおっ、おっきな正四面体。何？　もっと違うのもできるって？じゃーん、立方体。正十二面体もできちゃった。とこんなことをして、生徒達と遊びました。パズルは、私と生徒達との合作です。

  2006年05月28日

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• Presentation!!

  生徒に課題を出しました。一人一人に１つのArchimedean Solidsを選びました。生徒は、そのモデルを作成し、リサーチをし、その形について３分間のプレゼンを行います。結構、難しいのです。なんせ、複雑なものだと９２面もあるのです。サッカーボールも、Archimedean Solidsのひとつ。イギリス人は、日本人ほどには器用ではないので、モデルの完成度は、そこそこで満足するとして、プレゼンにはちょっと期待しつつ。毎日、授業の度に発破をかけつつ、様子を聞いてみると、結構、リサーチもしているようです。木曜、金曜に、メインレッスンの締めとして、プレゼン。実は、他の先生も招待しちゃいました。ふふふっ。楽しみ。*****Archimedean Solidsこのサイトの画像いいわぁ。マウスで、Archimedean Solids がくるくる回るのね。

  2006年05月18日

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• 粘土を使ったエクササイズ

  明日のメインレッスンでは、夫に登場してもらいます。夫は粘土が得意なので、プラトニック・ソリッドの粘土のエクササイズを、生徒たちと一緒にやってもらいます。そのエクササイズとは・・・・、球を作る。球の表面を６方向から少しずつ押していき、立方体を作る。立方体の８つの角を少しずつ押していく。角が三角形になり、正方形だった面が８角形になり・・・・、続けて立方体の角だった場所を少しずつ押していきます。これを続けていくと、最終的に別のプラトニックソリッドに変形します。さて、粘土がどのように変形していくか、想像できるでしょうか？最終的に、何の形がそこに現れるでしょうか？この変形のプロセスを実際に粘土で体験してみると、結構、感動です。興味のある方、やってみてください。面白いですよ。

  2006年05月09日

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• 

  またまたplatonic solids

  正十二面体は正二十面体の内側にピッタリと接する。反対に、正二十面体は正十二面体の内側にピッタリと接する。どの２つのplatonic solidsをとってみても、同じことが言えて、お互いに、内接、外接しあう。それをモデルに作ってみた。正二十面体の内側に、正十二面体が内接。その内側に、正六面体（立方体）が内接。その内側に、正四面体が内接。その内側に、正八面体が内接。と、５つのplatonic solidsが、接しあって。写真だと分かりにくくて残念。これをドローイングしてみたのがこれ。 正二十面体の中に正十二面体正十二面体の中に立方体立方体の中に正四面体正四面体の中に正八面体モデルはこれが全部ひとつになってます。 

  2006年04月10日

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  正十二面体

  またまたplatonic solidです。今日は正十二面体を作成。中にキャンドルを入れると、黄金比の星が。

  2006年04月01日

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  platonic solids

  イースター休暇あけの、８年生幾何学メインレッスン「platonic solids」に向けて、日々、モデルつくり。昨日の作品。golden rectangle（縦：横＝1:1.6 （黄金比））を３つ組み合わせて、角を糸でつなぐと、あらあら不思議。糸が描き出したものは、platonic solidsのひとつ「正二十面体」。うーん。美しい。

  2006年03月31日

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• 

  カリキュラム・プロジェクト復活

  ルドルフ・シュタイナー･カレッジの教員養成でのカリキュラム・プロジェクト。横にいるのは長男。シュタイナー学校でのカリキュラムを研究して、それについてアーティスティック・プレゼンテーションをせよ、というもの。私のプロジェクトの一部は、１２年間の数学カリキュラムを正十二面体にまとめたもの。正十二面体は、スイスのゲーテアヌムの礎石の形。人間の魂を表すかたち。そして、シュタイナー教育では、１２年間を通して、人間の魂の働き、意志、感情、思考を育てる。そして、wholeness。すべては繋がっていると言う考えを表したくて、１２年間をひとつの正十二面体に仕上げた。引越しで分解して輸送して、そのままになってたのを、やっと縫い合わせて復活させた。中身はスポンジなので、今は子どものおもちゃになっている。

  2006年03月28日

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  こんなものを作ってみました。

  シュタイナー学校で描くパターンを、板に釘を打ち付けて、糸を張って描いてみた。接線が描き出す放物線と遠近感。３つの放物線を重ねてできるものは、自然の中に見つかる形。シュタイナー学校で教える教科は、教科だけではない。1つの教科の中に、数学も歴史も自然も宇宙も、全部つながっている。

  2006年03月11日

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  授業の導入

  授業の導入は大切です。生徒の気持ちをひきつけるポイントとなるので、何を話すか、どうやって動機付けするか、どんな話が彼らを惹きつけるか、思案のしどころです。今日はこんな導入をしてみました。これは、エジプトの床に良く見られる、タイルの並べ方です。これをみて、何を見つけますか？どんな印象がありますか？どんなことを考えますか？シュタイナー学校の生徒達は、こういう質問に強い。日本の学校の生徒達だったら、「この先生、何が聞きたいのかな？」って推測して、先生が求める答えをするのは得意だけど、こういう、答えは何でもあり、という質問には弱い。実際、この質問に彼らは大喜び。「三角形がたくさん」「直角三角形だ」「直角二等辺三角形だ」「垂直がいっぱい」「平行線がたくさん」「正方形も見える」「大きな三角形の中に小さな三角形が」「きれい。遠近感を感じる」「うちのバスルームのタイルと同じ」などなど、延々と続く。ひとしきり意見が出終わったところで、話をはじめる。紀元前４００年頃、ギリシャの数学者がエジプトへ旅に出ました。エジプトのある建物の中で、このタイルを見ていた数学者は、こんなことに気付きました。また、ここで意見を聞きます。彼らが何をこの図から感じるか。直角をはさむ二辺のところにできた２つの正方形の面積の和が、斜辺のところにできた正方形の面積になる、なんて答えは出てきません。出てこないからこそ、色んな考えがでて話が広がります。彼らが、それぞれに違うことを考える。それを臆さずに言う。どれも美しい意見です。ピタゴラスが三平方の定理をみつけた気分を、ちょっとだけ体験しながら、ピタゴラスの偉大さを感じ取って、三平方の定理を学びはじめます。

  2006年03月07日

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• ペンタゴンとペンタグラム

  円に内接するように描かれた正五角形。その対角線をひいて描かれたペンタグラム（星型）。これを見ると、いつも、Dr.エルンスト・シューベルトが言っていたことを思い出す。星の中心にできる小さな正五角形の面積は、人間の肉体の大きさを表す。星型の面積は、人間のエーテル体の大きさ。正五角形の面積は、人間のアストラル体の大きさ。一番外側の円の面積は、人間の自我の大きさ。健康でない人間は、このバランスが崩れているのだそうだ。もちろん、この「健康」は肉体だけの話じゃない。霊的な部分、エーテルやアストラルも含めての話。現代人で、霊的な意味で健康な人間って、どれだけいるだろう。せめて、子どもたちには、真の意味でバランスのとれた健康な人間に育って欲しい。

  2006年02月25日

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• 

  黒板絵

  今日の黒板絵。７年生の幾何学。正五角形、ペンタグラムの作図から、黄金比へと進みます。

  2006年02月24日

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  幾何学ＭＬで

  幾何学のメインレッスンで、やろうかやるまいか、迷っているアクティビティ。日本では、確か子安美智子さん（だったと思う）の本で九九の練習用とか紹介されていたように思う。別に九九用教材と決まっているわけではなく、７年生の幾何の題材にもなる。クラス担任の、何気ない提案だったのだけど、どうしようか検討中。作図して、釘を打って、糸をかける。それだけのことなのだけど、３０人近いクラスでこれをやるとなると、授業がカオスになることは目に見えていて。授業がカオスになることは悪いことじゃはない。カオスになるときと、集中して作業する時と、うまくリズムができるのがいい。できたものはとても美しいし、糸をかける作業は、幾何の美しさ、規則性を体験するのに最適。さて、どうしよう。まだ迷い中。

  2006年02月19日

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• 数学の授業

  シュタイナー学校の数学・算数の授業って凄い！シュタイナー教育に惹かれている人は、そう思っている人が多いと思う。現実にシュタイナー学校の算数の授業は凄い。というか、とっても奥深い素敵な授業になる。教師次第で。ただ、実際問題として、シュタイナー学校にあるべき、素敵な奥深い算数・数学の授業をしている教師は多くはいない。私も一応、他の先生の授業を見させてもらおうと、メインレッスンの記録を貸してもらったけど、全然面白いことやってなくて、使えそうにもない。だから、結局、私は私にもどる。私の授業をする。シュタイナー学校の授業を、ドクマ的にならずに、イチから自分のものを作りあげるぞ、と、逆に気合が入る。逆に、お手本になる素晴らしい数学の先生が、身近にいなくて良かったのかも・・・なんて思う。だいたい、人と同じことする気は毛頭ないし。シュタイナー学校ならではの、深ーーい数学の授業ができるよう。今まで出会った、お手本になる素晴らしいシュタイナー学校の数学の先生といえば、エルンスト・シューベルト。今、カリフォルニアのシュタイナーカレッジに教えに来ているそうだ。うらやましい。私ももう一度エルンストの授業を受けたい。シュタイナー学校の算数の時間

  2006年02月08日

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