算数大好き！　クルミと森のなかまたち

[剰余系のお話] カテゴリの記事

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• Ｒくん、剰余系を使う（１５）

  ☆剰余系のお話、今回が最終回です。剰余系の体系化には、ドイツの数学者ガウスなども携わっています。また、素数の話、整数論の話も剰余系の性質をうまく使うことで、いろいろと展開していくことができます。この日記で、剰余系をまた扱うことがあるかもしれません。中学入試に、この分野の問題がときどき出てきますから・・・それでは最終回にいきます。■■■　Ｒくん、剰余系を使う（１５）　□□□□［宿題］次の（　ア　）と（　イ　）にあてはまる数を求めなさい。４，５，６のどれで割っても２余る２けたの整数（　ア　）と、２，３，４のどれで割っても１余る整数（　イ　）の和は１１１になります。　　　　　　　鎌倉女学院中学校（改題）［考え方］この問題もシンプルです。（　ア　）≡２　　（ｍｏｄ４）（　ア　）≡２　　（ｍｏｄ５）（　ア　）≡２　　（ｍｏｄ６）（（　ア　）－２）≡０　　（ｍｏｄ４）（（　ア　）－２）≡０　　（ｍｏｄ５）（（　ア　）－２）≡０　　（ｍｏｄ６）つまり、（　ア　）－２　は、４、５、６のどれで割っても割り切れます。４、５、６の最小公倍数は６０なので、（　ア　）－２＝６０（　ア　）＝６２２，３，４の方は、最小公倍数は１２（　イ　）－１＝１２，２４，３６，４８，６０，・・・・（　イ　）＝１３，２５，３７，４９，６１，・・・（　ア　）＋（　イ　）＝１１１　となるような組み合わせはアが６２、イが４９　しかありません。　・・・答え☆次回から、『Ｒくん、中学数学ベーシック』を連載します。それで、このコーナーはテーマが＜中学生の勉強＞になります。さて、どんな内容にするか？　これから考えます(^.^)魔法の式　●×▲＝■　がベースです。中学数学にチャレンジしていきます。こんな内容がいい！　という希望があれば、掲示板に書いていただけると、うれしいです(^.^)

  2005.08.03

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• Ｒくん、剰余系を使う（１４）

  ☆親戚が来ているので、いろいろと話が盛り上がり、な、なんと、午前０時を回っています(-_-;)きょうは中学生の子たちと、未来日記をつくりました。ただし、日本語ではなく、英語で書いていくというもので、学校の宿題でもあるのです。常備してある「１３歳のハローワーク」をみんなで眺め、将来のシナリオをほぼ３年間隔でつくる作業です。でも、まだ分からないこと、未確定なことが多過ぎて、みんな苦労していました。こどもたちは、それぞれ個性があります。表現するのが好きな子は活発です。じっとして講義を聴くというスタイルよりも、参加型の講義を好みます。自分で体験しないと納得しないタイプです。組織の中では、うるさがれる可能性もあります。学校で優秀な成績をとる子に多いのが、調整型の性格の子です。みんなをまとめていくのが上手です。意見は中庸で、ときに自分を抑えてしまうこともあります。系統だって分析するのが好きなので、組織の中で重宝な存在です。上役が使いやすいタイプでもあるのです。学校の先生方にも、好かれるタイプの子です。どちらかというと、ひとりでこつこつと研究していくのが好きな性格の子もいます。発明家タイプです。表現型の子と反対に、ふだんは静かな環境を好みます。しかし、アイデアが閃くと、とても行動的になります。組織の中では、扱いにくいとみなされてしまうおそれもあります。一貫して静かな雰囲気を好むのが、哲学者タイプの子です。考え方もしっかりしています。じっくり、ものごとに取り組んでいきます。組織の中では、スローテンポがマイナスに受け取られる可能性があります。しかし、話をするととても刺激的な思考方法をしているので、研究者として大成する可能性が高いといえます。このほかにも、いろいろなタイプの子がいます。そして、たいての子は、２つか３つのタイプを合わせ持っています。どのタイプが優勢かで、こどもに対する教え方も違ってきます。将来の職業も、こどもたちの個性を明らかにして、それからいっしょに考えてあげる・・・ほんとうはこういう作業が必要なのだと思います。今の日本、自分の個性がわからないまま職業を選ぶというミスマッチが起こっています。学習の仕方でも、同じ現象が起きています。講義でも話で終始するスタイルの講義、動きをとり入れて、参加型のスタイルをとる講義、ビジュアルに展開し、イメージを多用する講義など・・・こどもたちの個性にあわせ、才能を引き出すことができるように、いろいろな実験が行われていくべきと思ったりしています。ほんとうは、一人一人のこどもたちに合った講義を行うのが理想です。個性を見つけてあげる・・・学習でも、将来の職業の選択でも、この個性が分からなければ、ミスマッチが起こります・・・■■■　Ｒくん、剰余系を使う（１４）　□□□□［前回の宿題］３８を割っても、５４を割っても６余る整数をすべて求めなさい。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　明治大学付属中野中学校［考え方］　割る数をＡとおきましょう。　　３８≡６　　（ｍｏｄＡ）　　５４≡６　　（ｍｏｄＡ）　割り切れる形に変えましょう。３２≡０　　（ｍｏｄＡ）４８≡０　　（ｍｏｄＡ　３２と４８の公約数は・・・　２×２×２×２　が最大公約数　２のファミリーしかありません。　１，２，４，８，１６　になります。　でも、最後のつめで、あわてると・・・　このうち、６より大きくないと、余りの６が出てきません(^.^)　答えは　８，１６　［宿題］次の（　ア　）と（　イ　）にあてはまる数を求めなさい。４，５，６のどれで割っても２余る２けたの整数（　ア　）と、２，３，４のどれで割っても１余る整数（　イ　）の和は１１１になります。　　　　　　　鎌倉女学院中学校（改題）（つづく）

  2005.08.01

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  Ｒくん、剰余系を使う（１３）

  ☆東京は暑かった・・・きょうは、日記を書くのが遅くなりましたm(__)m実は、四国のわらし仙人が東京の渋谷でセミナーを開催しました。下記のベストセラーを書いている、あのわらし仙人です。そのセミナーに参加しました。・夢とお金が押し寄せるわらし仙人の「売れる自分」のつくり方・わらし仙人の３０倍速読術・普通の人が本を書いて怖いくらい儲かる秘術わらし仙人、チタン合金マンさん、セミナーをいっしょに受講したみなさん、どうもお世話様でした(^.^)こうして、二重の意味で暑い日になりました(^.^)セミナーの内容はもりだくさんでしたが、「ブーム」という言葉がとても印象に残りました。これから何がブームになるのか、そのブームを先取りして読む方法という話がありましたが、ブームこそ、これからの時代を生き抜くポイントであると思いました。そのために、これからの時代に身につけておくべきこととは？これは、うちの塾に来ている子たちに、早速話します(^.^)大人も同じです。Life-long Scale Education 『生涯教育』の時代です。自分磨きをしていかないと、あっという間に旧式な人間になるという時代です。このスピードは加速されていきます。今のこどもたちはそういう波をもろにかぶっていきます。マックはほぼ毎日、海岸を散歩しています。波が絶え間なく押し寄せてきます。その波を背に逃げようとすると、ときに溺れます。泳いでいて、１度溺れかかりました。引く波に吸い寄せられるのです。小学４年のときです。そのとき、死ぬかもしれない･･･と思いました。この様子に気づいた父が、浜辺の方から、「沖に逃げろ」と声をかけてくれました。波に逆らって岸に向かうから、波の引く力から逃げられなかったのです。それで、波の力に身を任せ、沖に出ました。すると、体が急に軽くなり、再び泳げるようになったのです。父の姿が、すぐそこに見えました。あのまま波の力に逆らっていたら、溺れていたと思います。人生という波も、逆らっていると溺れれます。そういう大波が２年くらいでやってくる・・・きょうのセミナーでの最大の収穫でした(^.^)■■■　Ｒくん、剰余系を使う（１３）　□□□□［前回の宿題］整数ＡをＡのそれぞれの位の数の和で割り、余りを［Ａ］で表すことにします。たとえば、［１２３］については１２３を１＋２＋３の６で割ると余りは３なので、［１２３］＝３となります。また、［７］は、７を７で割ると割り切れるので、［７］＝０［［９８］］は、［９８］＝１３なので、［［９８］］＝［１３］＝１となります。（１）　［５８］、［［８６２］］をそれぞれ求めなさい。（２）　Ａが２けたの整数のとき、［Ａ］が最も大きくなるような　　　Ａを求めなさい。（３）　［［Ａ］］＝９となる整数Ａのうち、最も小さいものを求めなさい。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　桐明中学校（１）剰余系で表せば、［５８］≡（　　）　　ｍｏｄ（５＋８）ということです。　　５８を１３で割れば、余りは６　　答え　６［［８６２］］は、２段階で、まず［８６２］≡（　　）　　ｍｏｄ（８＋６＋２）だから、８６２を１６で割ってあげましょう。すると、余りは１４［［８６２］］＝［１４］　　ｍｏｄ（１＋４）１４を５で割れば、余りは４です。［［８６２］］＝［１４］≡４答え　４（２）問題文がとてもわかりにくいです。マックも、・・・正直に言います・・・一度目に読んだときには、何のこと？　という反応でした(^.^)［Ａ］が最も大きくなるような・・・という文章は、余りが最も大きくなるような・・・と通訳しないと、ピンときません。それで、余りが大きくなるって、割る数が大きいほど、理想的！このことに気がつかないと、前に進めません(-_-;)ここが、「飛躍」です。ところで、割る数が大きいって、どんなことなの？［Ａ］≡（　）　　（ｍｏｄ　割る数　）この割る数は、２けたの各位の和です。思いっきり大きく取ると、９９はどうでしょう。［９９］≡（　）　　（ｍｏｄ９＋９）　それで、９９を１８で割ってみると、余りは９［９９］≡９　　（ｍｏｄ１８）　なんか、小さいですね。余りが１７になれば、答えなのですが・・・・・９８はどうかな？［９８］≡（　）　　（ｍｏｄ９＋８）［９８］≡１３　　（ｍｏｄ１７）この逆の８９では？［８９］≡４　　（ｍｏｄ１７）これは、ダメでした。１８，１７で割って、今のところ、最も大きい余りは１３。９７と７９で試してみましょう。［９７］≡１　　（ｍｏｄ１６）［７９］≡１５　　（ｍｏｄ１６）おや！新記録更新です！最も大きい余りは１５になりました。そして、この記録をぬくことは、もうできません。割る数が１６、余りが１５この先、１６よりも小さい数で割っても、余りはかならず１５より小さくなります。答え　７９（３）　（２）に比べれば、ましな問題です。［［Ａ］］＝９剰余系で表せば、［［Ａ］］≡９　　（ｍｏｄ　Ａの各位の和）こんな形なら、理想的です。［［Ａ］］≡９　　（ｍｏｄ１０）ということは、［［Ａ］］≡９　　（ｍｏｄ１＋９）［［Ａ］］≡９　　（ｍｏｄ２＋８）　　　・・・最も小さいＡを見つけるためには、［［Ａ］］≡９　　（ｍｏｄ１＋９）が使えると、いいですね(^.^)では、［Ａ］≡１９とおいてしまいましょう。これを何で割ればいいのかというと、［Ａ］≡１９　　（ｍｏｄ　Ａの各位の和）割る数が２０なら理想的だけれど、［Ａ］≡１９　　（ｍｏｄ　２０）「２０で割って余りが１９になる数Ａって？」Ｂ＝Ａ－１９　としたら、「２０で割って余りが０になる数Ｂって？」ということと、同じですね。 もうひとつ、Ａは　（　ア　）＋（　イ　）＋（　ウ　）＝２０　になり、　　　　（　イ　）は奇数　　　　（　ウ　）は９になる！　ということです。だから、（　ア　）＋（　イ　）＝１１　候補は、８と３，６と５，４と７，２と９　しかありません。このうち、最も小さくなるのは、２と９アが２ 、イが９、ウも９　という組みあわせが答えです。　答え　２９９お疲れ様でした。つぎは、やさしめの問題です。［宿題］３８を割っても、５４を割っても６余る整数をすべて求めなさい。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　明治大学付属中野中学校（つづく）

  2005.07.30

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• Ｒくん、剰余系を使う（１２）

  ☆「図形のエッセンス」をフリーページに掲載していきます。とりあえず、５本書きました。図形はイメージしやすい分野です。「これだけは、知っておいてほしい」という知識を中心に、時間をみて書いていきます。対象は、小学生から中学生までです。取り上げてほしいという希望などがあったら、掲示板、私書箱どちらでもかまいません。連絡してくださいね(^.^)■■■　Ｒくん、剰余系を使う（１２）　□□□□【エピソード１】６５４３　は　９　で割り切れる判定法があります。これは知っている！　という子が多い思います。実際に割ってみればいいのですが、それでは応用がききません。そのわけを、剰余系で見てみます。ちなみに、ふつう学校や塾などで説明する場合でも、考え方は剰余系そのものなんですよ(^.^)１０≡１　（ｍｏｄ９）　　　　　　（９を食べてしまいましょう）１００≡１　（ｍｏｄ９）　　　　　（９９を食べてしまいましょう）１０００≡１　（ｍｏｄ９）　　　　（９９９を食べてしまいましょう）いつも、あまり１ですね。ところで、６５４３は、つぎのように表せます。６５４３＝６０００＋５００＋４０＋３４０≡４　（ｍｏｄ９）　　　　　　（左右の辺を４倍しましょう）５００≡５　（ｍｏｄ９）　　　　　（左右の辺を５倍しましょう）６０００≡６　（ｍｏｄ９）　　　　（左右の辺を６倍しましょう）この性質を使います。６５４３≡６＋５＋４＋３　　（ｍｏｄ９）　　・・・☆☆さいごの仕上げは、６＋５＋４＋３＝１８　なので、６５４３≡１８≡０　　　（ｍｏｄ９）９で割り切れるのですが、大切なのは、☆☆の式です！わざわざ６５４３を割らなくてもいいのです。６＋５＋４＋３の和に注目して、これが９で割れるかどうかを調べれば済みます。たとえば、１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１は９で割り切れますか？という問題なら、直接割ったのでは時間がかかり過ぎです(^.^)この考え方は、「九去法」と呼ばれています。「ある数の各位の数の和が9の倍数になっていると，もとの数は9の倍数である」３の倍数も、同じような性質があります。５４３２１という数なら、ｍｏｄ３　で１００００≡１１０００≡１１００≡１１０≡１ｍｏｄ９　とまったく同じ結果になります。５００００≡５４０００≡４３００≡３２０≡２１≡１つまり、５４３２１＝（５００００＋４０００＋３００＋２０＋１）　　　　　≡（５＋４＋３＋２＋１）　　　　　≡１５　　　　　≡０「ある数の各位の数の和が３の倍数になっていると，もとの数は３の倍数である」という結論が出てきます。［宿題］整数ＡをＡのそれぞれの位の数の和で割り、余りを［Ａ］で表すことにします。たとえば、［１２３］については１２３を１＋２＋３の６で割ると余りは３なので、［１２３］＝３となります。また、［７］は、７を７で割ると割り切れるので、［７］＝０［［９８］］は、［９８］＝１３なので、［［９８］］＝［１３］＝１となります。（１）　［５８］、［［８６２］］をそれぞれ求めなさい。（２）　Ａが２けたの整数のとき、［Ａ］が最も大きくなるような　　　Ａを求めなさい。（３）　［［Ａ］］＝９となる整数Ａのうち、最も小さいものを求めなさい。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　桐明中学校※新しい世界の入口です。こんな世界もあるんだ、へぇー、それなら楽しんでやろう、こんなノリでいいのです。新しいルールが出てきても、あせってはいけません。ちゃんと、ルールが書かれているので、プールに入るときのように、慎重に一歩ずつ入っていきましょう(^.^)（つづく）

  2005.07.28

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• Ｒくん、剰余系を使う（１１）

  ☆剰余系は、数の世界をあまりという新しい秩序で組み替えるというお話です。世界をどう見るか、これは算数や数学の世界だけではありません。２元論の世界があります。善か悪か陽か陰か自然か文明か田園か都市か進歩か現状維持か国語の問題も、ほとんどが２元論の世界です。この問題は、何を言おうとしているのか？問題を解くとき、２元論を思い出してください。筆者はどちらの立場？　このことを見つけ出せば、論点が明らかになります。そして、筆者の論理が展開されていきます。それは、筆者の世界です。この世界の論理を読み取ることができるかどうかです。世界をどう見るか？　算数や数学でも、いろいろな世界があるということを知っておいてください。きみの目に見える常識の世界だけではありません。４次元、５次元・・・このような世界もあります。きょりだって、この世界に限定することはありません。別の世界に行けば、その世界だけのきょりの考え方が出てきます。こういう不思議が、まだまだたくさん出てくる・・・算数や数学を知ることは、いつか見るかもしれないその世界へ行く足がかりになります(^.^)■■■　Ｒくん、剰余系を使う（１１）　□□□□５×○＋３×△＝１１５　をあまりの形にして、□という記号を使ったら、○＝３×□＋２　　△＝３５－５×□になった、というのが前回までのお話でした。＞つぎは、表をつくるよ。□　　　　　○　　　　　△０　　　　　これは、□に０を入れたとき、ということ！すると、○＝３×０＋２＝２△＝３５－５×０＝３５□　　　　　○　　　　　△０　　　　 　２　　　　　３５　　＞つぎに、□に１を入れたとき、どうなる？○＝３×１＋２＝５△＝３５－５×１＝３０□　　　　　○　　　　　△０　　　　 　２　　　　　３５　　１　　　　　 ５　　　　　３０＞□に２、３、４と入れていくと、それぞれどうなる？□　　　　 ○　　　　　△０ ２　　　　　３５　　１ ５　　　　　３０２ ８　　　　　２５３ １１ ２０４ １４ １５５ １７ １０６ ２０ ５７ ２３ ０「□が７のとき、△は０になる！」１個５円のりんごと１個３円のみかんを合わせて１１５円分買いました。どちらも最低１個は買うとして、りんごの数がみかんの数より多くなるようにする買い方は、何組ありますか？　（りんごの数，みかんの数）と表せば、（１７，１０）と（２０，５）の２組。　答えは２組になるね。さて次回は、剰余系のエピソード１に入っていきます(^.^)（つづく）

  2005.07.27

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• Ｒくん、剰余系を使う（１０）

  ☆台風７号の影響で、雨が降ったり止んだりしています。海が近いので、潮騒が地の底から聞こえてきます。マックにとっては、この潮騒、子守唄のようなものですが。これから上陸するかもしれません。みなさん、お気をつけください。湘南地方が直撃されそうです(-_-;)■■■　Ｒくん、剰余系を使う（１０）　□□□□［きのうの宿題］５×○＋３×△＝１１５を、３で割ったあまりの形に直しなさい。＞Ｒくん、ノートを見せて。ノートは・・・きたない字だけれど、きちんとプロセスが書かれていました。５≡２　（ｍｏｄ３）（５×２）≡１０≡７≡４≡１　（ｍｏｄ３）　　　　　あまりの４は３で割れて、あまり１になる。（５×○）≡２×○　（ｍｏｄ３）　３×△≡０　（ｍｏｄ３）　　　３×△は３の倍数だから、３で割れば割り切れる。１１５÷３＝３８　あまり　１　だから、１１５≡１　（ｍｏｄ３）　５×○＋３×△＝１１５　の左右を３で割ったあまりの式は２×○≡１　（ｍｏｄ３）　苦心の作品です。＞Ｒくん、この式から、どんなことがわかる？「○の２倍を３で割ったら１あまる、ということ、だよね。」＞ＯＫ。それでは、２×○≡１　（ｍｏｄ３）　の左右（両辺）を２倍してみて！「４×○≡２　（ｍｏｄ３）　。」＞４×○≡２　（ｍｏｄ３）　の左にある４は、３をオーバーしているね。「あっ、そうだね。ということは、３で割れっていうこと？」＞そのとおり。左の式は、４×○≡（３＋１）×○≡　（３×○＋○）≡○　「○≡２　（ｍｏｄ３）　になったね！」＞○≡２　は、○を３で割ったら、２あまるということだから、これをふつうの式で表すと○＝３×□＋２　　そして、□は何か、いまのところ分からない。これと　５×○＋３×△＝１１５　を合体するよ。　○の箇所に、３×□＋２を入れて・・・５×（３×□＋２）＋３×△＝１１５＞かっこをはずそう。５×３×□＋５×２＋３×△＝１１５１５×□＋１０＋３×△＝１１５＞１５×□　を移項して、３×△＝１１５－１０－１５×□　　　　＝１０５－１５×□　＞ぜんぶ、３の倍数になっているから、３で割るよ。△＝３５－５×□「マック先生、長いよね、この式。」＞確かに(-_-;)（つづく）

  2005.07.26

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• Ｒくん、剰余系を使う（９）

  ☆海はかなりシケていました。江の島が霞んで、いつもより、遠くに見えます。かなり幻想的です。そして、波が大きくて、台風が近づいてきているという実感がしてきます。さて、剰余系のお話も終わりに近づいてきました。もう少しで、エピソード篇に入ります。■■■　Ｒくん、剰余系を使う（９）　□□□□［きのうの宿題］つぎの（　　）には、どんな数が入りますか？１５×△≡（　　　）　　（ｍｏｄ１５）＞Ｒくん、答えてみて(^.^)「１５÷１５＝１　あまり　０　１５≡０　（ｍｏｄ１５）　１５×２÷１５＝２　あまり　０　　　１５×２≡０×２≡０　　（ｍｏｄ１５）　１５×３÷１５＝３　あまり　０　１５×３≡０×３≡０　　（ｍｏｄ１５）　＞そうだね。最初のあまりが　０　だから、　　何倍しても　０　のまま。　　だから、「１５×△÷１５＝△　あまり　０　」１５×△≡０　　（ｍｏｄ１５）　　だから、答えは　０　だよ。」　　　合ってます。Ｒくんの成長ぶりに、少しずつ加速度がついてきました。マックも少し驚いています(^.^)＞最後の関門は簡単！６７５を１５で割ったら、あまりはいくつ？「６７５÷１５＝４５　あまり　０　６７５≡０　　（ｍｏｄ１５）　」＞まとめてみよう。５０×○＋１５×△＝６７５を１５で割ったあまりは、５０×○のあまりは　５×○１５×△のあまりは　０　　６７５のあまりも　０　５×○≡０　　（ｍｏｄ１５）それでは宿題。［宿題］５×○＋３×△＝１１５を、３で割ったあまりの形に直しなさい。「えーっ！」と言いながらも、Ｒくんの目はキラリと光っていました。（つづく）

  2005.07.25

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• Ｒくん、剰余系を使う（8）

  ☆イメージ力を鍛えると、算数は上達します。数学も同じです。物理も化学も、やはり同じです。たとえば、数と数を足して、和がいくつ・・・これをキャンデーでもドングリでもおはじきでも、イメージしてみます。ノートに書くのも、もちろんいいです。でも、ときどき、頭の中だけで考えてみる・・・これは慣れないとむずかしいかもしれません。でも、数だけではおもしろくもおかしくも、ありません。イメージ力を鍛えましょう。すると、数たちがいきいきと動きだします。さて、あまりの世界のイメージは・・・マックの頭の中をお見せしましょう。池があります。パクパクという数を食べる魚がすんでいます。数がやってきて、池を渡り始めます。すると、パクパクがやってきて数を食べていく・・・２４がパクパク７号に食べられるシーン２４　→　１７　→　１０　→　３２４≡３　（ｍｏｄ７）ダイエットできました(^.^)■■■　Ｒくん、剰余系を使う（8）　□□□□忘れかけていた問題は、これでした。剰余系の第１回目で、この問題を解くために、ずっと、説明してきました(^.^)［練習問題］りんご１個５０円、みかん１個１５円、合わせて６７５円買いました。何個ずつ買ったのか、組み合わせとして考えられるのは（　　）通りです。［考え方］何個買ったかという全体の数が分かれば、つるかめ算ですが、その数がいくつか分かりません。１個ずつ、数をあてはめていくよりほかは、ありません(-_-;)でも、少しでもシンプルにするために、「剰余系」・・・「あまりの世界」を使うのです！！！＞小学生バージョンで、りんご○個、みかん△個買ったとしよう。式をつくってみよう。Ｒくん、ノートに書き出しています。＞Ｒくん、式はこんなふうになった？５０×○＋１５×△＝６７５「ぼくは中学生だから、　５０ｘ＋１５ｙ＝６７５　でもいいよ。」＞いまは、５０×○＋１５×△＝６７５　でやってみよう。　Ｒくんには、５０ｘ＋１５ｙ＝６７５　タイプの宿題を出すけれどね(^.^)では、復習をかねて、質問していくよ。まず、５０を１５で割ったら、あまりは（　　）Ｒくん、この（　　）には、どんな数が入る？　「簡単！５０÷１５＝３　あまり　５　だよ。だから、５！」★マックのイメージ　⇒　　⇒　⇒　５０から１５をパクパク食べる！１５の３回分、４５を一度に食べるというイメージでもいいよ。　５０≡５　　（ｍｏｄ１５）＞それじゃ、　５０×２　を　１５　で割ったら？「５０×２÷１５＝６　あまり　１０　だから、あれ！」５０×２≡５×２　　　（ｍｏｄ１５）＞何か、気がついた？「そうだよ。あまりも２倍になる！」＞そうだね(^.^)つぎは、５０×３　を　１５　で割ったら？「あまりは、最初の３倍になるから　１５　！」５０×３≡５×３　　　（ｍｏｄ１５）＞ストップ！　１５で割って、あまりが１５？「これは、割り切れるっていうこと？だから、あまりは０・・・だ！」５０×３≡５×３≡０　　　（ｍｏｄ１５）＞そのとおり。つぎは、５０×○　を　１５　で割ったら？　これも予想してみよう。「最初の○倍になるから、あまりは　５×○」　５０×○≡５×○　　　（ｍｏｄ１５）＞まず、第一関門はクリアしたね。つぎは、１５×△　を　１５　で割ったら？［宿題］つぎの（　　）には、どんな数が入りますか？１５×△≡（　　　）　　（ｍｏｄ１５）（つづく）

  2005.07.24

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• Ｒくん、剰余系を使う（７

  ☆夕方、地震がありました。湘南地方は震度３～４。防災有線放送で、津波の危険があるといってました。サーフィンの大会も、これで打ち止め・・・大会を観戦していたマックも、家に向かいました。歩いていた人は、ほとんど、この揺れを感じていませんでした。家族で気づいたのは、ママさんだけでした。さすが・・・です。というか、ノー天気な娘たちです(-_-;)■■■　Ｒくん、剰余系を使う（７）　□□□□［きのうの宿題］１を加えると２で割り切れ、２を加えると３で割り切れ、３を加えると４で割り切れ、４を加えると５で割り切れる２けたの整数は、いくつ？この２けたの整数をＢとおきます。すると（Ｂ＋１）≡０　　（ｍｏｄ２）（Ｂ＋２）≡０　　（ｍｏｄ３）（Ｂ＋３）≡０　　（ｍｏｄ４）（Ｂ＋４）≡０　　（ｍｏｄ５）きれいに並んでいます。Ｂが１けたの整数なら・・・Ｂを１として（１＋１）≡０　　（ｍｏｄ２）（１＋２）≡０　　（ｍｏｄ３）（１＋３）≡０　　（ｍｏｄ４）（１＋４）≡０　　（ｍｏｄ５）きれいに解決します。つぎは、２けたをさがしましょう・・・でもこのまま進むとどんどん迷路にはまっていきます。直感的に解くことは、できます。　　マックはほんとは直感的な進み方　　が好きですが・・・これでは　　インスピレーションの世界そのものです。こんなときは、反対を考えるのです。へそまがりの術！です。素直な子は、「へそまがりの術」が不得意かもしれません。でも、もう少し頭を柔らかくしましょうね(^.^)例をとります。「Ｂに４を加えたら、５で割り切れる」ということは、６という数がありますね。○○○○○│○４を加えて○○○○○│○●●●●│これで、５で割り切れます。ということは、○○○○○│○をよーく観察すると・・・５で割ったら１あまる！！！ということだったのです。ほかのわり算も、まったく同じこと！（Ｂ＋１）≡０　　（ｍｏｄ２）（Ｂ＋２）≡０　　（ｍｏｄ３）（Ｂ＋３）≡０　　（ｍｏｄ４）（Ｂ＋４）≡０　　（ｍｏｄ５）はＢ≡１　　（ｍｏｄ２）Ｂ≡１　　（ｍｏｄ３）Ｂ≡１　　（ｍｏｄ４）Ｂ≡１　　（ｍｏｄ５）と表現できます。ということは、つまり、Ｂから１を引いた数（Ｂ－１）はＢ－１≡０　　（ｍｏｄ２）Ｂ－１≡０　　（ｍｏｄ３）Ｂ－１≡０　　（ｍｏｄ４）Ｂ－１≡０　　（ｍｏｄ５）です。数（Ｂ－１）は、２，３，４，５のどれで割っても割り切れます。２，３，４，５の最小公倍数は６０　なので、数（Ｂ－１）は、６０で割り切れる！！！Ｂ－１＝６０Ｂ＝６１答えは　６１　でした。　次回は、いよいよ、・・・忘れてしまいそうな問題をやります。（なんだっけ？？？）（つづく）

  2005.07.23

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• Ｒくん、剰余系を使う（６）

  ☆夏になると汗をかくので、かなりの水分を補給するようになります。水というと、とても当たり前の存在ですが、実は、この水というのは自然界ではとても特異な化合物なのです。融点や沸点がとても高いのです。このしくみは、電子レベルの「結合」という考え方で説明できます。それにしても、自然界に豊富にある水は、へんてこりんな性質を持っていて、なかま意識がとても強いのです。このおかげで、水以外の分子は、水の中でくっついていかざるを得なくなりました。なかまはずれにされた者同士が、しかたないからくっつくという感じです。この分子が複雑になり、やがて生命が誕生します。水のもつこの不思議な「なかま意識」があるから、わたしたちの体もバランスを保っているのです。ですから、水の質と人間の質は、無関係ではありません。もしかしたら、水の質が悪くなると、人間もおかしくなる？！ペットボトルの水しか飲めなくなったというのは、日本の水の質が悪くなったっていうことです。そういえば、家の水道は浄水器つきが当たり前・・・なにか変です(-_-;)■■■　Ｒくん、剰余系を使う（６）　□□□□前回の宿題の答えからです。［きのうの宿題］４で割ると２あまり、５で割ると３あまり、７で割ると５あまる整数のうち、１０００に一番近い数を求めましょう。整数をＡとおきます。すると、Ａ≡２　（ｍｏｄ４）Ａ≡３　（ｍｏｄ５）Ａ≡５　（ｍｏｄ７）数を見比べて、Ａ＋２としてあげると、割り切れることが分かります。たとえば、かりにＡが６なら、それに２をたして８にすれば４で割り切れます。Ａ＋２≡０　（ｍｏｄ４）Ａ＋２≡０　（ｍｏｄ５）Ａ＋２≡０　（ｍｏｄ７）Ａ＋２は、１４０の倍数で１４０×７，１４０×８のどちらかです。１４０×７＝９８０１４０×８＝１１２０Ａ＋２から２を引けば、もとのＡにもどります。９８０－２＝９７８１１２０－２＝１１１８答えは　９７８でした。☆あまりだけに注目すると、とてもシンプルになります。人間の血液型がＡ、Ｂ、Ｏ、ＡＢのどれかに必ず入るように、整数も、必ず「あまり」のどこかに入ります。７月２１日「数の動きって？３５」の鳩ノ巣原理で考えれば、兄弟が無限にいて、部屋の数が有限というケースです。７で割ったあまり・・・これを部屋の数とすると、０，１，２，３，４，５，６の７部屋しかありません。それに対して、整数という兄弟の数は、数え切れないくらいあります。数え切れないから、無限です。☆わり算のかたちで、商とあまりを出してあげてもまったくかまいません。Ａ≡２　（ｍｏｄ４）Ａ≡３　（ｍｏｄ５）Ａ≡５　（ｍｏｄ７）はＡ＝４×Ｂ＋２Ａ＝５×Ｃ＋３Ａ＝７×Ｄ＋５と表せます。すると、左と右の辺に、２をそれぞれ加えてＡ＋２＝４×Ｂ＋２＋２＝４×Ｂ＋４＝４×（Ｂ＋１）Ａ＋２＝５×Ｃ＋３＋２＝５×Ｃ＋５＝５×（Ｃ＋１）Ａ＋２＝７×Ｄ＋５＋２＝７×Ｄ＋７＝７×（Ｄ＋１）この形にすれば、Ａ＋２　は　４、５、７のどれでも割り切れる、ということが見えてきます。どちらのやり方も、あと２だけふえれば、世界が変わる！という「発見」の部分が、飛躍になります。同じタイプの問題を、もう１題解いてみましょう。剰余系でも、トンチでも、答えが見つかればＯＫです。［宿題］１を加えると２で割り切れ、２を加えると３で割り切れ、３を加えると４で割り切れ、４を加えると５で割り切れる２けたの整数は、いくつ？（つづく）

  2005.07.22

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• Ｒくん、剰余系を使う（５）

  ☆夏休みが始まりました。宿題は、７月中に終わらせるのが原則です。いつまでも大切に取っておく子がいますが(^.^)やる気曲線は、だんだん下がっていきます。でも、観察日記のように毎日つけていくものは、習慣にしてしまうといいです。そのためには、規則正しい生活が必要・・・その逆で、観察日記をつけるために、生活にリズムがついてきます。ところで、「観察」はとても大切です。ちょっとした変化にも気づけるというのは、毎日観察しているからです。こういう気づきの方法は、大人になってからとても役に立ちます。せっかくの夏休みです。生物や植物、星、天気、波、風・・・なんでもいいです。毎日観察していくことで、細かなことに注意する習慣が身につきます。ノートを１冊用意して、今日から、今日間に合わなければ明日から、観察日記をつけてみてください。■■■　Ｒくん、剰余系を使う（５）　□□□□［きのうの宿題］５で割ると４あまり、７で割ると６あまる整数のうち、１００に一番近い数を求めましょう。整数をＡとおきます。すると、Ａ≡４　（ｍｏｄ５）Ａ≡６　（ｍｏｄ７）いつも、具体的な数に注目しましょうね(^.^)４と５　　６と７それぞれ、１つ違いです。ここに、突破口があります。（Ａ＋１）≡５≡０　（ｍｏｄ５）（Ａ＋１）≡７≡０　（ｍｏｄ７）Ａ＋１　は、５で割っても、７で割っても、割り切れる！！！Ａ＋１　は、３５の倍数だー！３５の倍数、いきますよ３５，７０，１０５，１４０，…Ａに戻すには、１を引いてあげればいいですね。３４，６９，１０４，１３９，…答えは　１０４　でした。［宿題］４で割ると２あまり、５で割ると３あまり、７で割ると５あまる整数のうち、１０００に一番近い数を求めましょう。（つづく）

  2005.07.21

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• Ｒくん、剰余系を使う（４）

  ☆きょうも暑い・・・とばかりも言ってられません。もうじき夏休みが始まります。夏休みに、何かひとつの科目に重点をしぼり、てっていてきに研究する、というのもいいですね(^.^)受験の学年になっていない子は、自分でほんとうに調べたいこと、学びたいことを夢中になってやってみてください。それが、大きな力、そして、自信につながっていきます。マックは、小学生のときは「歴史調べ」と「読書」、中学生のときは「英語文法」や「国語文法」、それに、「日本の古代史」、「植物標本づくり」など夏休みに、けっこう、夢中になってやっていました。もちろん、毎日海に行って、真っ黒に日焼けしていました。夜になると、はだがヒリヒリして、まいりましたが・・・■■■　Ｒくん、剰余系を使う（４）　□□□□［きのうの宿題］ある数と、７で割ったらあまりが６になる２けたの数をかけたら、３９０になりました。ある数はいくつ？３９０と書かれているのだから、３９０を使います。どのように？３９０を７で割ってみましょう。３９０　　　　　（３５０を抜く）≡４０　　　　　（３５を抜く）≡５ある数を○とおきます。「ある数と、７で割ったらあまりが６になる２けたの数をかけたら」とあるので、剰余系で　○×６　としておきましょう。すると、あまりは５になるので、（○×６）≡５　　（ｍｏｄ７）７で割って、あまりが５になる数は　・　・　・１２　がありますね。（○×６）≡５　　（ｍｏｄ７）　　１２ 　≡５　　（ｍｏｄ７）○×６　と　１２　をくらべて・・・○は２、つまり、７で割ってあまりが２になる数です。２，９，１６，２３，３０，７で割ったらあまりが６になる２けたの数は１３，２０，２７，３４，４１，４８，５５，６２．６９，７６，８３，９０，９７ところで、３９０は素数で表せば３９０＝２×３×５×１３２のファミリーは　１と２３のファミリーは　１と３５のファミリーは　１と５１３のファミリーは　１と１３これらを頭のすみにおいて、３９０になる計算式を書き出します。３９０＝１×３９０３９０＝２×１９５３９０＝３×１３０３９０＝５×７８３９０＝６×６５３９０＝１０×３９３９０＝１３×３０３９０＝１５×２６この計算式の中で、７で割ったらあまりが６になる２けたの数は、１３しかありません。３９０＝１３×３０このことから、○は３０…これが答えです。かなり原始的な解き方です。でも、こういう地道なトレーニングが、「ひらめき」につながっていきます(^.^)［きょうの宿題］５で割ると４あまり、７で割ると６あまる整数のうち、１００に一番近い数を求めましょう。（つづく）

  2005.07.20

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• Ｒくん、剰余系を使う（３）

  ☆かなり暑くなりました。これからが夏本番でしょうか。さきほど、海岸を散歩してきました。さすがに、浜辺は曇りの日なので、涼しい風が吹いてきます。どうしてもクーラーを使いたくなりますが、よほど暑いとき以外は、クーラーは使いません。あとで体調が悪くなります。できるだけ自然なのがいいですね。いま、こうしてパソコンに向かっていますが、窓から涼しい風が入ってきます(^.^)そういえば、かぼちゃの蔓が、すごいことになってます。生命力があるんですね。庭を自由に這ってます。というか、伸びています。これは、母が植えたもの。日々、成長しています。こどもも、夏に成長します。心身ともに大きく成長して、秋を迎えたいものですね(^.^)■■■　Ｒくん、剰余系を使う（３）　□□□□前回の［宿題］の答えです。３４５６×８６４２を７で割ったあまりを求めなさい。まるでわり算のスタイルで、計算しますね。３４５６　　　　（２８００を抜く）≡６５６　　　　（６３０を抜く）≡２６　　　　　（２１を抜く）≡５８６４２　　　　（８４００を抜く）≡２４２　　　　（２１０を抜く）≡３２　　　　　（２８を抜く）≡４（３４５６×８６４２）≡（５×４）　　（ｍｏｄ７）（５×４）　　≡２０　　　　　（１４を抜く）≡６答え　６こんな問題は、どうですか？あまりに注目！これも、中学入試のアレンジ問題です。［宿題］ある数と、７で割ってあまりが５になる数をかけたら、３９０になりました。ある数はいくつですか？（つづく）

  2005.07.19

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• Ｒくん、剰余系を使う（２）

  近所を散歩していたら、高校野球選抜戦の応援の声が、球場からこだましていました。海のほうへ向かうと、サーフィン、そしてビーチバレー・・・夏の風物詩です。でも、受験生にとっては、「休み」なんて言っていられない季節です。受験生、がんばれっ！！！涼しい時間帯にちょっと歩くと、リフレッシュできますよ(^.^)■■■　Ｒくん、剰余系を使う（２）　□□□□－－あまりの世界の「たし算」と「ひき算」－－☆数の計算と同じことが、あまりの世界でもできる！　このことを覚えておいてください。今回は、「たし算」と「ひき算」の説明てす。＜たし算＞まず、１７と２５を足してみます。足した４２を７で割ると、あまりは０ですね。（１７＋２５）÷７＝６　あまり　０では、１７と２５をそれぞれ７で割ってみると、　１７÷７＝２　あまり　３　２５÷７＝３　あまり　４　「あまり」を見てください。３＋４＝７になっていますね。７は割り切れるので、０になっているけれど。つまり１７≡３　（ｍｏｄ７）２５≡４　（ｍｏｄ７）なら、（１７＋２５）≡（３＋４）≡０　（ｍｏｄ７）というたし算が、数の世界でも、あまりの世界でもできる、このことが分かります。４２≡０　（ｍｏｄ７）６２と１３８で実験してみましょう。６２のあまりは　　６１３８のあまりは　５すると、２００のあまりは６＋５＝１１≡４　（ｍｏｄ７）　になります。＜ひき算＞たし算でできるということは・・・ひき算でもできます。１７÷７＝２　あまり　３２５÷７＝３　あまり　４（２５－１７）÷７＝１　あまり　１実際、（２５－１７）≡（４－３）　（ｍｏｄ７）　　　８　　　≡　　１でなりたっていますね。［例］１０００を７で割ったあまりはいくつ？足し算の考え方でやると１０００≡（７００＋３００）　（７００のあまりは０）≡３００≡（２８０＋２０）　　（２８０のあまりは０）≡２０≡６これって、まるでわり算をやっているようです。違うのは、「あまり」だけに意識を集中しているかどうか、だけ(^.^)引き算の考え方でやるとうしろに７で割って消える数を持ってきます。１０００≡（１０００－７００）≡３００≡（３００－２８０）≡２０≡６で、答えは６ですね。数字がどんどん消えていきます。（つづく）☆１年はうるう年でなければ、３６５日ありますね。３６５≡１　　（ｍｏｄ７）になります。どうしても、あまり１が出てきてしまいます。今年の１月１日が月曜日なら、１２月３１日はあまり０で、月曜日。３６５日後となる翌年の１月１日は火曜日になります。こうして、１年ごとに曜日が１つずつずれていきます(^.^)カレンダー、毎年同じなら、買い換えなくてもいいのに・・・

  2005.07.18

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• Ｒくん、剰余系を使う（１）

  新課程に変わってから無くなってしまった分野、おそろしいほどたくさんあります。公立学校では、大切な算数・数学の項目が大量に絶滅しています。私立学校で、かろうじて生きながらえているといった状態です。剰余系が、中学数学にありました。また、私立中学校の入試にも出ていました。小学校では日暦算でよく出てきます。数の穴埋め問題でも人気です。Ｒくんに、この剰余系の話をすることになりました。つぎの問題を解くときに、知っておいた方が、守備範囲がぐーんと広がるからです。［練習問題］りんご１個５０円、みかん１個１５円、合わせて６７５円買いました。何個ずつ買ったのか、組み合わせとして考えられるのは（　　）通りです。これを解くのに、数をあてはめていく方法ではとても時間がかかります。そこで、剰余系の考え方で解いてみようと思います。ところで、「剰余系」って何でしょう？■■■　Ｒくん、剰余系を使う（１）　□□□□　中学生の数学から抜けてしまった「剰余系」・・・「それじゃ、私立中学校の入試にも出ないよね。」というきみ・・・甘い！私立中学校の入試には、いぜんとして出てきます。お化けではありません、念のため・・・この「剰余系」については、１年半ほど前に「ぱくぱくの池」の話をしました。わり算の「あまり」だけで数を区別するというお話でした。これが「剰余系」です。身近なところでは、　曜日　と　日付　の関係です。きょう、７月１７日は日曜日です。つぎの日曜日は２４日、そのつぎは３１日。７日で曜日が１周します。１７を７で割ってみると、あまりは　　 　３２４÷７　のあまりは　　　　　　　　　 ３３１÷７　のあまりは　　　　　　　　　 ３７で割った「あまり」の世界を想像してみましょう。この世界には、７個の数しかありません。　０　（７で割り切れる、ということ）　１　２　３　４　５　６　１７と２４と３１は、「あまり」の世界では、同じです。みんな　３　として、分類されます。引いても同じです。１０と３　は７で割って、あまり７。つまり、７月はあまり「３」になる日が日曜日です。あまりが４ならば、月曜日・・・あまりが５ならば、火曜日・・・などと続きます。数字の表に、結果を書き入れてみましょう。　０　　　１　２　３　日曜日　４　月曜日　５　火曜日　６　残りは、もう書けますね。表を完成させましょう(^.^)　・　・　・　０　木曜日　　　１　金曜日　２　土曜日　３　日曜日　４　月曜日　５　火曜日　６　水曜日このようになりますね。それでは、７月２７日は何曜日？　・　・　・　・　・　２７÷７＝３　あまり　６　６を表で見てみると、「水曜日」になっています。　この剰余系では、　２７÷７＝３　あまり　６　のことを　　（２７，ｍｏｄ７）≡６または、　２７≡６　　（ｍｏｄ７）のように表します。この計算方法を知っておくと、とても便利です。なぜなら、つぎのような問題が、いきなり出てくるからです。ほんと、お化けやしきの方が、まだましです。［例題］　７けたの整数、１７６□３８２　が７で割り切れるように、　□に適当な数を入れなさい。　こういうタイプの問題が、中学入試にときどき出てきます。これを解くには、・・・次回、計算のルールをお話します(^.^)（つづく）☆今のこどもたちがときどき可哀想になります。学習内容のレベルが低過ぎると、いつも思います。公立学校の先生の中にも、危機感から旧課程の教科書をプリントして、生徒たちに配っているという熱心な方もいます。マックには、その気持ち、よーく分かります。

  2005.07.17

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