[数学]の記事一覧 | nightfly

治らないおっちょこちょい

対数の問題で、1/2log2 25 - log2 10 の値を求めよとあった。1/2log2 25が1/2log2 5^2になり log2 5になるのは良い。だが、-log2 10を -log2(2x5)にし -(log2 2 + log2 5)となりlog2 5/( 1+log2 5)にして行き詰った。所が、何度か問題を眺めている内、なんのことはないlog2 5 - log2 2 - log2 5 だから答えが簡単に -1 になることにやっと気付いた。なまじ、log a M - log a N=log a M/N が頭にこびりついていたからだ。知っている解法に飛び付き袋小路に入ってしまう悪癖は未だ健在である。

2018/04/15

コメント(0)

対数　底の変換公式

対数の底の変換公式としてみっつ載っていた。①　log a b・log b M=log a M②　log b M=log a M/log a b③　log b a=1/log a b（a,b,M＞０、a≠１、b≠１）まず、①の証明はこうだ。log a b=u、log b M=vとおけばb=a^u、M=b^vしたがってM＝ｂ^v=(a^u)^v=a^uvゆえにlog a M=uv=log a b・log b M②は、①の両辺をlog a bで割れば良いし③は、②でM=aとおけば良い。なるほど。ひとつひとつ追えば納得する。だが、いつもながら手品を見せられているような気分になる。

2018/04/14

コメント(0)

小平邦彦「幾何への誘い」３

定理２として「二点AとCに対して直線AC上にあってAとCの間にある点Dが少なくとも一つ存在する」という、これまた、わざわざ証明せずに済みそうな定理が載っていた。そして、その証明の途中で使った公理「二点A,Cに対して直線ACに常に少なくとも一点Bがあって、CはAとBの間にある」との違いがよく分からない。確かに、前者は点が間にあると言っており、後者は外にあると言っている。だが、後者でCはAとBの間にあると言っているのだから、結局、同じことではあるまいか。

2018/02/04

コメント(0)

ABC予想証明

京大の望月新一教授によってABC予想が証明されたようだ。フェルマーの最終定理と違い問題の意味を理解することすら難しい。なにやら、今世紀の数学史上最大級の業績であり、これにより多くの数論の問題が解けるらしい。望月さんは１９歳の時にプリンストン大学を卒業した。この時既に飛び抜けた秀才だ。何かの分野で大きな変革を成し遂げた人物を天才と呼ぶなら正しく天才になった。世界は強欲、欺瞞、独善、残酷に覆われているが、こうした人物が時折輝かしい光芒を放つ。

2017/12/17

コメント(0)

算術の基本定理

いよいよ、素因数分解における一意性の証明になった。それを、算術の基本定理というらしい。改めて書くとすべての整数ｎ≧２は素数の積 n=p1p2・・・pr に一意的に分解出来るというものだ。（但し、n=nのように数一つだけの時も分解とみなし300=２・2・３・５・５等、同じ数が重複する場合も一通りとみなす。そして、１２＝２・２・３＝２・３・２＝３・２・２等も一通りとみなす）次に、基本定理を二つの主張に分ける。主張１：　整数ｎは素数の積に表すことが可能である。主張２：　そのような分解は（並べ方の違いを除いては）一通りである。まず、主張１からだ。最初に、自然数は小さい方から順番に 2=2,3=3,4=2^2と分解出来る。そこで、それ以下のｎについて分解出来ている、ある数Nについて考える。そして、N＋１についても成り立つかどうか考える。そこには二つの可能性がある。第一に、N+1自身が素数である場合。この時、それ自身が素数の積で表せている。第二に、N+１が合成数であるかもしれない場合。この時、２≦n1,n2≦N が存在して N＋１＝n1n2と表せる。しかし、n1 及び n2 は共にN以下なので、主張１が成り立つ。従って、n1 及び n2 は素数の積に表せ、それをn1=p1p2・・・pr , n2=q1q2・・・ｑｓとする。これらを掛け合わせて　N+1=n1n2=p1p2・・・pr・q1q2・・・qs が得られるので、N+1 は素数の積に分解され、主張１は証明された。これはつまり、２について言えることは３にも言え、３について言えることは４にも言えるということであり、この操作を無限に続けて行けるということだ。この方法を帰納法というらしい。お次は主張２だ。まず、整数Nが二通りの積 n=p1p2p3p4・・・pr=q1q2q3q4・・・qs と表せるとする。そして、p1がq1・・qsを割るという事実を使う。一方、整除性定理によりp1はqiたちの少なくとも一つは割る。そこで、番号を付け替えることにより p1がq1を割ることにする。しかし、q1は素数なので、その約数は１またはq1だけである。従って、p1=q1 である。そこで式の両辺からp1,q1を消し、p2p3p4・・・pr=q2q3q4・・・qs が得られる。この作業は、pi あるいは qi のいずれかがなくなるまで続けられる。仮に、piたちがすべて消えてしまった時、左辺は１である。この時、qiたちが残るのは（積が１に等しいので）不可能である。同様に考えると、qiたちがすべて消えると piたちもすべて消える必要がある。すなわち、piたちの個数とqiたちの個数は同じでなければならない。以上をまとめるとpi　及び qiたちがすべて素数である時n=p1p2p3p4・・・pr=q1q2q3q4・・・qs においてr=s が成り立ち、番号を付け替えることでp1=q1,p2=q2,p3=q3,・・・,Pr=qs が成り立つ。以上で整数ｎが素数の積に一通りに表せることが証明出来た。

2017/11/25

コメント(0)

偶数世界

「はじめての数論」で、因数分解が必ずしも一意的に決まるとは限らない例として「偶数世界」なるものが登場した。それは、文字通り偶数しかない世界だ。それをE数と名付けていた。その世界でも加、減、乗については閉じている。しかし、除法については閉じていない。たとえば、１２＝２・６なので、６はE数として１２を割る。しかし、６はE数として１８を割らない。何故なら、商の３は奇数だからだ。そして、素数もあるがE数では１でも自分自身でも割れない。自分自身で割ると奇数である１になってしまう。つまり、どんな数でも割れない。例を挙げると、２、６、１０、１４、１８、２２、２６、３０等である。一方、通常の数について、素数ｐが積abを割ると、pはaかbを割るという定理があった。そこで、E素数６とa=10、及び、b=18について考える。１８０＝６・３０なので、数６はab=180をE数として割る。しかし、６は１０も１８もE数として割らない。だから、通常の数について成立した定理もE数については成り立たない。更に、素因数分解の一意性も成り立たない。何故なら、１８０＝６・３０＝１０・１８だからだ。もっと広げれば、１８０＝２・９０というのもある。素因数分解の一意性がそれほど自明ではないことがよく解った。

2017/11/22

コメント(0)

素数の整除性定理

ｐを素数とし、ｐは積 a1,a2,a3・・・arを割るものとすると、pは因数 a1,a2・・・arの内、少なくとも一つを割るという定理を素数の整除性定理というらしい。これもまた、直感的に自明に思えるが、証明も、ｐがabを割る時、abのいずれかを割るという定理を使えば簡単だ。すなわち、pがaを割らないとすると、残りの(a2a3・・・ar)=bを割ることになる。もし、a2を割らないなら、残りの(a3・・・ar)を割る。この作業を続ければ、いずれかのaiはpで割れる。

2017/11/19

コメント(0)

対数の指数

a^log c b = b^log c a の証明が解らなかった。解答の a^log c b = (c^log c a)^log c b = (c^log c b)^log c a = b^log c a を読んでも解らなかった。暫く考えて、a^u = M の時、u = log a M とする対数の定義から演繹されるa^u = M ⇔ u = log a M から、a^log a M = M であることに気付いた。これは、「底が同じの、指数が対数である数の値は、その対数の真数と同じである」と言っても良いだろうか。となると、冒頭の問題は、「異なるふたつの数で、底が同じで真数をふたつの数を入れ替えた対数を指数に持つ数は同値である」とでも言えば良いだろうか。

2017/11/14

コメント(0)

積と素数

素数pが積ab割る時、pはaまたはbのいずれかを割るという自明と思える定理がある。しかし、素因数分解の一意性が自明でない場合、そうとも言えないらしい。そこで、pがaを割らないと仮定し、gcd(p,a)を調べる。それは、pを割るので、１またはpを割る。その数はaも割るので、pはaを割らないとした仮定によりpではない。よって、gcd(p,a)=1になる。そして、一次方程式定理を使い、px+ay=1の解x.yを見付ける。ここで、gcd(p,a)=1である。そして、両辺にbを掛けて、pbx+aby=bを得る。すると、pbcは当然pで割れ、また、pはabを割るので、abyもpで割れる。従って、pは和 pbx+abyを割るので、pはbを割る。これで、上記の定理は証明された。ただ、これは素数独特の性質であり、合成数に対しては正しくない。実際、６は積１５・１４を割るが、６は１５も１４も割らない。

2017/11/11

コメント(0)

底の変換公式

対数計算にいくつか公式がある。それは、①　log a b・log b M=log a M ② log b M=log a M/log a b ③ log b a=1/log a b 　等だ。①について、log a b=u,　log b M=v　とおけば、b=a^u,　M=b^vしたがって、M=b^v=(a^u)^v=a^uvゆえに、log a M=uv=log a b・log b Mこれで公式①が証明された。そして、①の両辺をlog a bで割れば②になり②においてM=aとおけば③になる。そこで、②は底の変換公式と呼ばれるらしい。証明をひとつひとつ追えばなるほどと納得するがいつもながら、手品のような感覚に襲われる。どこかに飛躍があるのだろう。

2017/11/07

コメント(0)

1次方程式定理

gcd(a,b)=1の時、ユークリッドの互除法により得られたax+by=1の二つの解を(x1,y1), (x2,y2)とする。すると、ax1+by1=1, ax2+by2=1となる。そして、左の式をy2倍し、右の式をy1してから、差をとる。これによりbが消去され、ax1y2-ax2y1=y2-y1が得られる。同様にして、左の式をx2倍し、右の式をx1倍したものの差をとりbx2y1-bx1y2=x2-x1を得る。この時、k=x2y1-x1y2とおくと、x2=x1+kb, y2=y1-kaとなる。これは、最初の解x1にbの倍数を加え、y1からaの倍数を引くことで二つ目の解、x2,y2が得られることを示している。そして、gcd(a,b)＞1、かつ、g=gcd(a,b)の場合ユークリッドの互除法で得られた解を,(x1,y1)とするとgはaもbも割るので、(x1,y1)はより簡単な式、a/gx+b/gy=1の解である。従って、すでに調べた結果を使えば、他のすべての解は(x1+k・b/g, y1-k・a/g)で得られる。

2017/10/29

コメント(0)

指数と逆数

a,b,cを１に等しくない正の数とする。そして、x,y,zが０でない数で、a^x=b^y=c^zとする。その時、1/x+1/y=1/z ⇔ ab=cである。これには、２通りの証明がある。一つ目は、まず、a^x=b^y=c^zの各辺のcを底とする対数をとるとxlogc a=ylogc b=z。なので、1/x=(logc a)/z, 1/y=(logc b)/z。従って、1/x+1/y=1/zとなるための必要十分条件はlogc a+logc b = logc ab=1,すなわち ab=c。二つ目は、a^x=b^y=c^z=kとおけばa=k^(1/x), b=k^(1/y), c=k^(1/z)なので、1/x+1/y=1/zであることはab=k^(1/x)・k^(1/y)=k^(1/x+1/y)=k(1/z)=cであることと同値。つまり、それぞれ異なる指数を持ち、その値が互いに等しい三つの自然数の内、二つの積が,残り一つに等しい時、二つの指数の逆数を足した数は、残りの指数の逆数に等しいということか。今後、これがどう応用されるか分からないが、ちょっと面白い証明だった。

2017/10/24

コメント(0)

一次方程式と最大公約数

ユークリッドの互除法の余りを特別扱いすると以下のように書ける。（a,b:任意の自然数、a＞b ,q:商、r:余り）a=q1b+r1 , r1=a-q1bb=q2r1+r2 , r2=b-q2r1 =b-q2(a-q1b) =-q2a+(1+q1q2)br1=q3r2+r3 , r3=r1-q3r2 =(a-q1b)-q3(-q2a+(1+q1q2)b) =(1+q2q3)a-(q1+q3+q1q2q3)bこれは、最後の余り(gcd(a,b))が、aのある倍数にbのある倍数を加えたものであることを示している。そして、aとbが互いに素なとき、ax+by=1の解x1にbの倍数kbを加えy1からaの同じ整数倍kaを引くことによって他の整数解(x1+kb,y1-ka)を得る。これは、a(x1+kb)+b(y1-ka)=ax1+akb+by1-bka=ax1+by1=1と計算出来るので分かる。つまり、ax+by=1の整数解は無限に存在するのだ。

2017/09/29

コメント(0)

ユークリッドの互除法

ユークリッドの互除法とは２つの整数A,Bの共通因数を見つける為、まず小さい方Bで大きい方Aを割り、その余りで前の割った数を割ってゆき、余りが０になるまで続けるという方法である。一般的に書けばA=Q1xB+R1B=Q2xR1+R2R1=Q3xR2+R3 . . .Rn-3=Qn-1xRn-2+Rn-1Rn-2=QnxRn-1+Rn(gcd)Rn-1=Qn+1xRn+0 となる。（Q:商,R:余り,gcd:最大公約数)なぜ最後の０でない余りRnが共通因数になるのか？最下段の行を見ると、RnがRn-1を割ることを示している。そして、その上の行を見るとRnはRn-2を割ることを示している。この作業を続ければAとBに辿り着く。一方、A,Bの別の共通因数をｄとすれば最上段、A=Q1xB+R1から始めるとｄはR1も割る。この時、第２式B=Q2xR1+R2からｄはR2も割る。これを続けると、Rn-2=QnxRn-1+RnからRnを割ることがわかる。従って、RnはAとBの最大公約数でなければならない。そして、余りは常に割る数より小さいので、この作業はいつかは終わる。

2017/09/19

コメント(0)

パッシュの公理

小平邦彦さんの「幾何への誘い」にパッシュの公理の証明が載っていた。それは、「一直線上にない三点A,B,Cのいずれをも通らない直線Lが線分ABと交わるならば線分ACまたは線分BCと交わる」というものだ。これには、「このときLが線分ACと線分BCの両方と交わることはない」という注意がある。なので、「一直線上にない三点、A,B,Cのいずれも通らない直線Lは線分AB,AC,BCのいずれとも交わらないか、またはその二つと交わって他の一つと交わらない」と言い換えられる。更に、実は、この「三点A,B,Cは同一線上にはない」という仮定も不要であることが三角形と結合と順序の公理を使って証明される。これを理解するのが相当難しくかなり時間が掛かった。だが、結合と順序の公理に出て来る「２点A,Cに対し、直線AC上にあって、AとCの間にあるような点Dがつねに少なくとも一つ存在する」のような、まるで人をバカにしたような自明な公理の証明と、そこからの積み上げがここに来て役立った。

2017/09/17

コメント(2)

ピタゴラス数と円周上の点

x^2+y^2=1は中心(0,0)で半径１の円を表す。そして、(±1,0)と(0,±1)は明らかに有理点である。一方、有理数mの傾きを持ち(-1,0)を通る直線の方程式は、y=m(x+1)である。この円と直線の共通部分を見つける為、直線の式を円の式に代入するとx^2+(m(x+1))^2=1x^2+m^2(x^2+2x+1)=1(m^2+1)x^2+2m^2x+(m^2-1)=0となる。そして、(x+1)が解であることはわかっているのでこれで上の式を割ると(m^2+1)x+(m^2-1)=0になり、x=(1-m^2)/(1+m^2)が得られる。これを直線の式に代入するとy=m(x+1)=m((1-m^2)/(1+m^2)+1)=2m/(1+m^2)これで、x^2+y^2=1のすべての有理数解((1-m^2)/(1+m^2),2m/(1+m^2)が得られる。但し、点(-1,0)は除外される。この点における直線の傾きｍは∞になり垂直線になる。

2017/09/10

コメント(0)

既約ピタゴラス数

3^2+4^2=5^2,5^2+12^2=13^2,8^2+15^2=17^2,28^2+45^2=53^2等、a^2+b^2=c^2で表せる数をピタゴラス数と呼ぶそうだ。あるピタゴラス数(a,b,c)にある整数dを乗ずると、(da)^2+(db)^2=d^2(a^2+b^2)=d^2c^2=(dc)^2になるのでピタゴラス数は無限に存在する。なので、勢い話は共通因数を持たない既約ピタゴラス数に移る。そこで、既約ピタゴラス数をリストアップするとまず、(3,4,5) (5,12,13) (8,15,17) (7,24,25) (20,21,29) (9,40,41) (12,35,37) (11,60,61) (28,45,53) (33,56,65) (16,63,65)が挙げられる。ここで、a,bの内一方は偶数でもう一方は奇数であり、cはいつでも奇数である。もし、a,b共に偶数であればcも偶数なのでアウト。両方奇数ならcは偶数になり、a=2x+1,b=2y+1,c=2zと表せる。それを、a^2+b^2=c^2に代入すると(2x+1)^2+(2y+1)^2=(2z)^2, 4x^2+4x+4y^2+4y+2=4z^2となる。これを２で割れば、2x^2+2x+2y^2+2y+1=2z^2となり、奇数と偶数が等しいことになり、これもアウト。だから、a,bは一方が奇数でも一方は偶数でなければならない。そこで、aを奇数、bを偶数、a,b,cは共通因数を持たないとして話を進める。まず、既約ピタゴラス数は、a^2=c^2-b^2=(c-b)(c+b)と分解出来る。いくつか数字を代入すると3^2=5^2-4^2=(5-4)(5+4)=1・915^2=17^2-8^2=(17-8)(17+8)=9・2535^2=37^2-12^2=(37-12)(37+12)=25・4933^2=65^2-56^2=(65-56)(65+56)=9・121,となる。ここから、c-bおよびc+bは平方数であることが推測出来る。それを証明する為、c-bとc+bに共通因数があると仮定する。dを共通因数とするなら、(c+b)+(c-b)=2c,(c+b)-(c-b)=2bを割る。しかし、a,b,cを既約ピタゴラス数としたので、bとｃは共通因数を持たない。なので、dは１または２になる。しかし、dが(c-b)(c+b)=a^2を割り、aは奇数なので、dは１である。すなわち、c-bとc+bの両方を割り切る数は１だけである。だから、c-bとc+bは共通因数を持たない。そして、これらの積は(c-b)(c+b)=a^2なので平方数になる。元々、bもcも共通因数を持たないので、c-bおよびc+bも平方数でなければならない。だから、c+b=s^2,c-b=t^2と表せる。これらを、a,b,cについて解くとa=√(c-b)(c+b)=st,b=(s^2-t^2)/2,c=(s^2+t^2)/2となる。(s＞t≧１、s,t：奇数）これが既約ピタゴラス数を作り出す公式だ。

2017/09/06

コメント(0)

三角数

先生が出した「１から１００までを足しなさい」という問題を小学生だったガウスが瞬時に答えた話は有名だ。これは、小石を１個、２個、３個と順に並べた三角形の総数を数えることに等しい。その公式は「n(n+1)/2」だ。その公式を導くには、まず、ふたつの三角形を底辺で向き合わせ、間に（n+1）の列を挟み、正方形を作る。その正方形の総数は2(1+2+3+・・・+n)+(n+1)=(n+1)^2だ。後は、両辺から(n+1)を引き右辺を整理すると(n+1)^2-(n+1)=n^2+2n+1-n-1=n^2+n=n(n+1)となりそれを２で割ると(1+2+3+・・・+n)=n(n+1)/2となる。初歩的な数列の総数を表す公式の面白さを感じた。

2017/08/30

コメント(0)

二桁の掛け算の暗算

昔から計算が苦手だったので暗算の本を読んでみた。代数を使ってたのでなるほどと思った。まず、二桁の数字を、10a+bと10c+dで表す。それを掛けると、(10a+b)(10c+d)=100ab+10(ad+bc)+bdだ。暗算する場合、10a+b x 10c+dと、縦に並べた方がやり易そうだ。まず、10aと10cを掛け、お次に、10aとd、そして、10cとｂとたすき掛けに掛けたやつを足す。最後にbとdを掛けたやつを足せば出来上がりだ。仮に、23x45なら、23 x 45 でまず、100(2x4)=800、んでもって、10｛(2x5)+(3x4)｝=220を足して1020それに、3x5を足して、1035という寸法だ。大きな数字になると最初の数字を覚えていたり、繰り上がったりが大変そうだが、小さな数字ならなんとか暗算で行けそうだ。

2017/04/27

コメント(0)

ピタゴラス数

a^2+b^2=c^2を満たす整数a,b,cをピタゴラス数と呼ぶそうだ。それを、m＞nである正の整数で表すとa=m^2-n^2, b=2mn, c=m^2+n^2になる。実際、a^2+b^2=(m^2-n^2)+(2mn)^2=m^4-2m^2n^2+n^4+4m^2n^2=m^4+2m^2n^2+n^4=(m^2+n^2)^2=c^2になる。そして、a^2+b^2=c^2の両辺をc^2で割り、(a/c)^2+(b/c)^2=1とし更に、a/c=x, b/c=yと置き換え、x^2+y^2=1にする。このx^2+y^2=1が示す円と点(-1,0)を通り有理点(x,y)を通る直線によって証明する方法は結構複雑だった。ともあれ、mとnは正の整数なのだから、ピタゴラス数が無限に存在するのはよく分かった。

2017/04/20

コメント(0)

アポロニウスの円　一般式

アポロニウスの円の一般式をなかなか導けなかったが漸く出来た。それは、２定点A（－ｍ、０）、B（ｎ、０）に対してAP：PB＝ｍ：ｎになるような点Pの軌跡だった。ｍ＝ｎならABの垂直二等分線になる。まず、AP:PB＝ｍ：ｎよりｎAP＝ｍPB両辺を２乗すると、n^2AP^2=m^2PB^2そこで、点Pの座標を(x,y)とすればn^2｛(x+m)^2+y^2｝=m^2｛(x-n)^2+y^2｝,n^2(x^2+2mx+m^2+y^2)=m^2(x^2-2nx+n^2+y^2),n^2x^2+2mn^2x+m^2n^2+n^2y^2=m^2x^2-2m^2nx+m^2n^2+m^2y^2,=(m^2-n^2)x^2-2mn(m+n)x+(m^2-n^2)y^2=(m^2-n^2)｛x^2-(2mn/m-n)x+y^2｝先のxの項を(m^2-n^2)で割るのがなかなか思い付かなかった。後は平方完成だ。(m^2-n^2)｛x^2-(2mn/m-n)x+(mn/m-n)^2-(mn/m-n)^2+y^2｝、(m^2-n^2)｛(x-mn/m-n)^2+y^2｝=(m^2-n^2)(mn/m-n)^2,両辺を(m^2-n^2)で割り(x-mn/m-n)^2+y^2=(mn/m-n)^2となる。これがアポロニウスの円についての一般式だ。

2017/04/15

コメント(0)

アポロニウスの円

松坂和夫さんの「数学読本」でアポロニウスの円について解析幾何学の方法を使い、厳密な証明ではないが一例を挙げていた。それは、２定点A（－３、０）、B（１、０）に対してAP:PB=３：１となる点Pの軌跡でAP:PB＝３：１だからAP＝３PBになり両辺を２乗するとAP＾２＝９PB＾２になる。そこで、点Pの座標を（ｘ、ｙ）とすれば（ｘ＋３）＾２＋ｙ＾２＝９{（ｘ－１）＾２＋ｙ＾２}になり整理すれば、ｘ＾２＋ｙ＾２－３ｘ＝０なる。平方完成すれば、（ｘ－３／２）＾２＋ｙ＾２＝（３／２）＾２だから点Pの軌跡は、中心（３／２、０）、半径３／２の円になる。一般にアポロニウスの円は、線分ABをｍ：ｎに内分する点とｍ：ｎに外分する点を直径の両端とする円になるそうだ。ｍ＝ｎの場合はABの垂直二等分線だ。小平邦彦さんの「幾何への誘い」ではフォイエルバッハの定理を随分苦労して理解した。しかし、いくら一例とはいえ、アポロニウスの円についていつのまにか、それもかなりあっさり、その成り立ちについて理解出来ていた。これが解析幾何学の威力の一端なのだろう。

2017/04/07

コメント(0)

小平邦彦　「幾何への誘い」　２

結合と順序の公理から導かれる定理４の証明が漸く理解出来た。定理そのものは「直線上に任意の４点が与えられているとき、これらを適当にA,B,C,Dで表せば、Bで表した点がAとCの間にもまたAとDの間にもあるように、かつCで表した点がAとDの間にもBとDの間にもあるようにできる」というものだ。そして、まず、①「Bが線分AC上にあり、Cが線分BD上にあるならばB,Cはまた線分AD上にある」を証明し、②「Bが線分AC上にあり、Cが線分AD上にあるならば、Cはまた線分BD上に、BはまたAD上にある」を証明した。次に、他の２点の間にあるものをQで、他の２点をPとRで表し、最後の点をSで表し、「RはPとSの間にある」「またはPはRとSの間にある」「またはSはPとRの間にあり、かつQはPとSの間にある」「またはSはPとQの間にある」「またはPはQとSの間にある」の五つの場合に分け、①と②を使い説明していた。何度も図に書きやっと理解出来た。この定理が将来どう役立つかは全く解らないが厳密な場合分けによる証明には説得力を感じた。

2017/03/28

コメント(0)

開平計算

先日観た映画「オデッセイ」で１６進法が出て来たので２進法からおさらいした。例えば、２進法で１１００１なら、１×２＾４＋１×２＾３＋０×２＾２＋０×２＾１＋１なので、１０進法なら２５だ。ついでに開平計算もイマイチ解ってなかったのでおさらいした。まず、４桁の数字の根を１０aとbに分ける。そして(10a+b)^2は(10a)^2+2×10ab+b^2になりbで括ると(10a)^2+(2×10a+b)bになる。これで、適当な２桁の数字(10a)で４桁の数字を割りその余りを10aの2倍の数字に適当な１桁の数字(b)を足した数字(2×10a+b)にbを掛けた数字(2×10a+b)bで割って余りが０になれば10a+bが平方根になることがよく解った。しかし、肝心のアルファベット２６文字を１６進数で表すと何故簡略化出来るのかはボンヤリしたままだ。

2017/03/17

コメント(0)

円の方程式

円の方程式がやっと直感的に理解出来た。ｙ＝ｘが原点を通る４５度の直線なのは当然だ。ｙ＝ｘ－１がｙ＝ｘが右へ１動くのもオッケーだ。となると、(x-1)^2+(y-1)^2=r^2が中心(1,1)で半径ｒの円であるのも大した飛躍ではなかった。途中、ピュタゴラスの定理を使っているのがちょっとしたミソだった。ただ、(x-1)^2+(y-1)^2=r^2を展開し整理するとx^2+y^2+lx+my+n=0になるのはオッケーだが何故、xyの項があると円にならないのか知りたい。ともあれ、楕円の方程式、y^2/a^2+x^2/b^2=1の理解に一歩近付いた。

2017/03/12

コメント(0)

カントールの対角線論法

吉田武さんが書いた「虚数の情緒」にカントールの対角線論法の説明が載っていた。以前読んだ時はイマイチ、ピンと来なかったが今回はなんとか理解出来たようだ。まず、0≦Aｋｋ≦１に存在する実数をすべて行に書き出す。これはすべての実数に自然数で番号札を付けることを意味する。そして、１行目の１桁目の値ならA11と１０進法で添字を付ける。さらに、各行の添字が同じ数字の値を拾って行き、各々の値を、0≦Bｋ≦４なら５、5≦Bｋ≦9なら１と変換して行く。この数列Bｋは、すべての実数を書いた表Akkの対角線に現れる。そして、この数列は、表Akkのどの数列とも一致しない。なぜなら、必ず、添字が同じ桁の値を変えてあるからだ。つまり、実数は自然数によって番号が付けられない、だから、実数の濃度は自然数より濃い。それを、ℵ０＜ℵと書くようだ。更に、この作業をAk(k+1)やAk(k-1)等に行って行くと無限に同様の数列を作れるのではないだろうか。それなら、無理数が自然数に対して圧倒的な濃度を持っているのも頷ける。

2017/01/30

コメント(0)

数学的帰納法

いつもの日課を終え手持ち無沙汰にしていたら本棚にあるサイモン・シンの「フェルマーの最終定理」が目に付いた。すると付録に数学的帰納法による証明が載っていたのを思い出した。以前、２ちゃんの数学板で教えて貰い解った気になってはいたがちゃんと理解出来ているか確かめてみた。自然数の和を求める公式を使っていた。それはSum(n)=1/2・n(n+1)だ。Sum(1)について正しいのは明らかだ。そこで、Sum(n+1)だとSum(n+1)=Sum(n)+(n+1)になりSum(n+1)=1/2・n(n+1)+(n+1)になる。それを変形すると、Sum=1/2・(n+1)(n+2)=1/2・(n+1)｛(n+1)+1}になる。最後の式は最初の式のnをn+1入れ替えただけで形は同じだ。これで、この式がもし任意のnについて成り立てばn+1についても成り立つことが証明された。良かった。ちゃんと理解出来ていた。誰が考えたか知らないが数学的帰納法畏るべし。

2016/12/30

コメント(0)

無理関数のグラフ

分数関数の流れで勉強したせいか無理関数のグラフを対象移動する時の対称軸である直線y=xと分数関数の漸近線を混同していたらしい。y=√xのグラフが直線y=xを対称軸にy=x^2のグラフを対象移動したものと同じなのは分かったがy=√(2x+5)のグラフで躓いた。それがy=√2xのグラフをxの負の方向へ５／２ずらしたものであるのは分かった。しかし、そこで変に√(2x+5)のグラフに近接する対称軸を求めてしまい直感的に分からなくなってしまった。そこで一から計算し直すことにした。まず、y=√(2x+5)の両辺を二乗するとY^2=2x+5になる。ここでy≧0だ。そしてxとyを入れ替えるとx^2=2y+5になる。これのyを左辺に持ってくるとy=1/2・x^2ー5/2になる。当然x≧０だ。この式をグラフに書いてみると、なるほどy=√（２x+5)を直線y=xを軸に対象移動した形になった。元々、xとyを入れ替えているのだから対称軸がy=xであるのは当然だった。いつもそうだが数学はちょっとした躓きで先へ全く進めなくなる。

2016/11/28

コメント(0)

こんな証明いるか？

小平邦彦さんの「幾何への誘い」を読んでいる。今は結合と順序の公理だ。そこで「直線上の任意の３点、A,B,Cのうち、必ずある１点が他の２点の間にある」の証明が出て来た。イマイチ腑に落ちないながらも証明は一応理解出来たがまず「こんな証明いるか？」と思った。だが、一見自明なことでもきっちりした証明を与えておくことが数学では先々重要なのだろう。あほらしいと思いつつもこんな厳密な思考に慣れておこう。

2016/09/27

コメント(0)

小平邦彦　「幾何への誘い」

まだ途中だが遂にフォイエルバッハの定理の証明を理解した。おそらくこの本前半の白眉だったろう。数学がからきしダメだった私にこの日が来るとは思わなかった。この前に出て来た九点円やパスカルそしてシムソンの定理なども到底理解出来るとは思っていなかった。さすがフィールズ賞受賞者極めて丁寧で解り易かった。アインシュタイン、ファインマン、ウォルター・ルーイン、エドワード・フレンケル等もそうだが、教わるのは一流に限る。しかし、フォイエルバッハの定理を一人で２２通りものやり方で証明した人が居るというのだから、なんともはや怖ろしい世界である。

2016/06/21

コメント(0)

数学センスの無さ

嫁さんの親戚のご主人が国立の理工系を出ているので時々数学を教えて貰っている。不等式の証明の途中で出て来たp(1-p)a+q(1-q)bがpqa+qpbになるのが分からなかった。メールで聞いてみると、条件のp+q=1からp=1-q、q=1-pだからということだった。なるほど。聞いてみるとまるで手品の種明かしのように簡単だ。しかし、こんな簡単なことを予め条件も与えられているのに分からなかったとは、やはり、自分に数学センスが無い証なのだろう。

2016/02/13

コメント(0)

1/(a-b)(a-c)(a+1)+1/(b-c)(b-a)(b+1)+1/(c-a)(c-b)(c+1)

今まで全６巻ある松阪和夫さんの「数学読本」を所々つまみ食いしていたが、どうにもこうにも先へ進めなくなったので改めて１巻からやり直す事にした。またもや、文字式の計算でどうしても解けない問題にぶち当たった。どうせ、途中式が相当煩雑になるのは見えていたので２ちゃんや他のQ&Aサイトで聞くのも気が引け途方にくれていた。そこで、嫁さんの親戚に理数系の人が居た事を思い出し結構感じの良い人だったので聞いてみる事にした。案の定、途中式は相当煩雑になったが何回かメールのやり取りをした末何とか理解出来た。(1/a)+(1/b)を通分する時に(b/b)や(a/a)を掛ける事や(a-b)をA、(b-a)を-Aとして計算するのがミソだったように思う。音楽、映画、小説等の傑作に触れるのも快感ではあるが例えささやかな問題であっても数学の問題を理解出来た時の達成感は格別だ。

2015/08/14

コメント(0)

数学の冒険

微分の公式「X`=ｎX^(n-1)」を知ってはいたがイアン・スチュアートの「数学の冒険」にあった「無限小の効用」の章で改めて理解出来た。それは、ニュートンが接線の勾配を求める時に取った方法だがX^2を微分する時、無限小の増加分をhとしx+hとするならx^2は（x+h)^2となり、変化の割合は{(x+h)^2-x^2/(x+h)-x}で、これは{2hx+h^2}/h=2x+hに等しい。ここで、h=0と見なせば、2x+0=2xとなる。この、０で割る事を巧みに回避する方法をバークレイ司教は激しく攻撃し、実際、論破されなかったそうだがあまりに実用的であった為、結局、無視された事は非常に興味深い。

2014/12/20

コメント(0)