[数学]の記事一覧 | nightfly

ティモシー・ガウアーズ「数学」" 三つ葉結び目 "

ヒモでひとつの結び目を作る。両端を融かしくっつける。すると、三つ葉のような結び目ができる。どう考えても解けそうにない。しかし、最初に非常に複雑な状態（要するにこんがらがった）にしたそれを見ると、どうにかして解けそうな気がするだろう。一方、日常生活で、押し入れへ乱雑に詰め込まれた物を整理整頓するためには、部屋を一旦散らかった状態にする必要がある。ここには、なにか重要な概念が潜んでいるように感じる。「必要悪」だろうか？「急がば回れ」だろうか？はたまた「すべての山を登れ。すべての浅瀬を渡れ」だろうか？ともあれ、なにかをすっきりさせるためには多少の回り道は避けられない。

2024/02/03

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小室直樹「数学嫌いな人のための数学」" 解はあるが解けない "

三次方程式はカルダノが解き、四次方程式はフェラーリが解いた。しかし、３００年後、アーベルは五次方程式は代数的（係数に四則演算と根号を施して）に解けないことを証明した。さらに、ガロアによって五次以上の方程式は代数的に解けないことが証明された。だが、ガウスによってｎ次方程式には必ず解が存在することが証明されていた。（しかも複素数の範囲で）つまり、「解はあるが解けない」ということだ。これは究極の隔靴掻痒ではないか。

2023/10/03

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リリアン・リーバー「ガロアと群論」" 単位元 "

ある整数に０を足しても０のままだ。同様に、ある整数に１を掛けても１。６０°に分割された円を３６０°回転させても元と同じ。X1,X2,X3の元がある集合でX1をX1に置換しても同じ。これらを「単位元」と呼ぶ。今まで、単位元というと、たとえば、１００ｃｍに対する１ｃｍのようなものかとなんとなく思っていた。しかし、実際は、「演算の結果変化をもたらさない元」のことなのだ。どうやら、長さや重さにおける「単位」という言葉と混同していたようだ。となると、「毒にも薬にもならない人」も単位元的人物と呼べるだろうか。

2023/07/17

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笑わない数学 " モンティ・ホール問題 "

モンティ・ホール問題を簡単に解説していた。そもそも、ABCみっつの扉のひとつに正解があり、回答者がひとつ選ぶと司会のモンティ・ホールが間違っている扉をひとつ開け、回答者に選んだ扉を変える権利を与えられるという問題だ。普通に考えると残ったふたつの扉のどちらが正解かの確率は両方１／２だから変えても同じになる。しかし、IQ２２８のマリリン・ボス・サヴァントが新聞コラムに「変えた場合の確率は変えない場合の２倍になる」と書くと数学者を含めた１万人以上の読者から「それは間違ってる」と抗議の投書があった。ところで、解説はこうだ。まず、回答者がAを選んだとする。そして、正解もAだとする。この場合変えない方がいい。これが起こる確率は１／３だ。一方、正解がBだとする。当然、モンティ・ホールはCを開ける。この場合、変えた方がいい。確率は１／３。さらに、正解がCの場合。モンティ・ホールはBを開ける。これも変えた方がいい。確率は１／３。つまり、変えた方がいい場合は１／３と１／３を足して２／３。なので、変えない１／３の倍。これは、正解がどの扉であっても同様に成り立つ。やはり、マリリンは正しかった。

2022/09/23

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当たりもはずれもある確率

「２０本のくじのうちに当たりくじが５本ある。このくじから３本引くとき、少なくとも１本は当たる確率」が「1-15C3/20C3=137/228」なのはまぁわかる。（モロに向かうとややこしいので全事象から余事象を引いている）だが、「このくじから３本引くとき、３本のうちに当たりくじもはずれくじもある確率」が「137/228-5C3/20C3=45/76」がなかなか理解できなかった。しかし、「137/228」には「全部当たりの確率」も含まれている。だから、それを引く必要があるのだ。

2022/08/12

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正円は存在しない？

Quora で「円周は２πｒであり π は無理数なので正円は存在しないのですか？」という質問が立っていた。一瞬意味がわからなかった。というか、今でもわからない。そもそも、無理数は分数で表せないという意味をわかってないのではないか。π とは直径に対する円周の比である。それが無理数ならなぜ正円ではないと思うのだろうか？もしそうなら、一辺１の正方形の対角線の長さ√２も真の対角線ではないことになる。ともあれ、物事の見方が違うとこうも話が食い違うという好例ではあるだろう。

2022/05/31

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「暗算の達人」" 末尾が５である二桁の二乗 "

「末尾が５である二桁の二乗」は、まず最初の数とそれのひとつ大きい数を掛け、それに２５を続ける。３５の二乗だったら、３x４に２５をくっつけて１２２５だ。これを代数で表すと (10a+5)^2=100a^2+100a+25=100a(a+1)+25になりなるほど、そうなる。つまり、同類項をまとめることが役立ってるわけか。

2022/03/17

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差が同じならどちらから引いても絶対値は同じ。

楕円の公式を導く過程で「√(x-c)^2+y^2」が出てきた。いつもの、「x＜c」である場合の「(x-c)」への違和感が顔をもたげた。もちろん、「5-2=3」と「2-5=-3」の絶対値は同じだから二乗すれば問題ない。でも、なんとなく引っかかる。なので、改めて代数で確かめることにした。すると、a-b=c, a=c+bそして、b-a=X として、a に c+bを代入するとb-(c+b)=-c=Xこれで「差が同じならどちらから引いても絶対値は同じ」であることに漸く納得がいった。やっぱり、何事も基礎からちゃんと理解しなくてはいけない。

2022/02/24

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ピラミッドの黄金比

なにやら、ピラミッドの側面にある三角形には高さと底辺の半分との間に黄金比が現れるそうだ。そして、ヘロドトスによると「ピラミッドの高さの２乗は側面の三角形の面積に等しい」らしい。まず、ピラミッドの高さをｈとする、そして、三角形の高さをｓ、底辺の半分をａとする。すると、条件文は「h^2 = s x a」となる。直角三角形ＴＯＡ（Ｔ：ピラミッドの頂点、Ｏ：ピラミッドの底辺にある正四角形の中心、Ａ：側面の三角形の底辺の中心）にピタゴラスの定理を当てはめると、s^2 = h^2+a^2, ここで h に最初の式に従って置き換えると s^2 = s x a+a^2 両辺を a^2 で割ると (s/a)^2=(s/a)+1, さらに s/a を x と表せば x^2 = x+1, 右辺を左辺に移行し x^2-x-1=0 これは正に黄金比を表す式である。

2022/01/30

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算術法則と無限

∞＝１／０と定義する。一方、０×２＝０である。そして、両辺に０を掛け結合法則を使うと、１＝∞×０＝∞×（０×２）＝（∞×０）×２＝１×２＝２となり矛盾する。なので、算術法則に無限は馴染まない。これには０で割れないことにも近親性を感じる。

2021/12/14

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「０．９９９９・・・・＝１」　Part Ⅱ

今まで「０．９９９９・・・・＝１」の証明は「０．９９９９・・・・＝X」としこれに１０を掛けて「１０X＝９．９９９９・・・・」とし　　１０X＝９．９９９９・・・・ー）　　X＝０．９９９９・・・・　　　９X＝９　　　　Ｘ＝１が解り易かった。しかし、吉田洋一さんの「零の発見」では無限等比級数の和の公式を使っていた。それによると、「０．９９９９・・・・」は「９／１０＋９／１００＋９／１０００＋９／１００００＋・・・・」と表せる。となると、「α／１ー r 」という無限等比級数の公式の初項 α に９／１０を、そして公比 r に１／１０を代入すれば同じ結果が得られる。

2021/09/07

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媒介変数（パラメータ）

定点P0（p0)を通り,0でないベクトル d に平行な直線をLとすると、点P（ｐ）が直線L上にあることは、ベクトルP０P がｄに平行であること、すなわち、P０P ＝ｔｄとなるような実数ｔが存在することと同値。位置ベクトルを用いて書き直すと、ｐ－ｐ0＝ｔｄ、すなわち、ｐ＝ｐ０＋ｔｄ、そこでｔがすべての実数を動けば、点P（ｐ）は直線L上のすべての点を動く。最後の式をベクトル方程式と呼び、ｔを媒介変数（パラメータ）と呼ぶらしい。長い間、媒介変数（パラメータ）の意味がなぞだった。漸く、その香りに触れた気がする。この場合、ベクトルの長さの変数というところか。ともあれ、P0 の座標を(X0,Yo)とし、P の座標を(X,Y)とし、d を(a,b)とすれば、ｐ＝ｐ０＋ｔｄは、(X,Y)=(X0,Yo)+t(a,b)となり、次いで、X=X0+at,Y=Y0+btとなり、これらを媒介変数表示というらしい。そして、ここからtを消去すると、(X-X0)/a=(Y-Y0)/bとなり、更に、Y-Y0=b/a(X-X0)にすると、お馴染み傾きがb/aの直線の方程式になる。最初、何故わざわざベクトルd が必要なのか分からなかったが、それは、直線の傾き≒ベクトルの向きを表す為だったのだ。

2021/01/07

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部分分数分解

数列の和を求める問題で「1/k(k+1) は 1/k-1/(k+1) と分解できる」とあっさり書いてあったがさっぱり分からなかった。ネットで調べると「部分分数分解」というのを発見した。それによると、まず、1/k(k+1)=a/k+b/(k+1) という公式が存在した。それの分母を払い1=a(k+1)+kb、これを展開し、1=(a+b)k+a の係数を比較すると (a+b)=0,a=1,b=-1。これを公式に代入すると、なるほど、1/k-1/(k+1) となった。

2020/12/24

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数列の和　1/1・2+1/2・3＋1/3・4+・・・+1/n(n+1)

1/1・2+1/2・3＋1/3・4+・・・+1/n(n+1) の和を求める。1/k(k+1) を 1/k-1/(k+1) に分解する。この時、分子を 1 にする為、それぞれに逆数を掛けているのがニクい。そして、∑1/k(k+1)=∑｛1/k-1/(k+1)}=1-1/(n+1)=n/(n+1)。最後の n/(n+1) がこの数列の和である。

2020/12/03

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松阪和夫「数学読本」” ∑kの証明 "

まず、恒等式 (k+1)^2=k^2+2k+1 を利用する。これを変形して 2k+1=(k+1)-k^2この等式のｋに順次 1,2,3,・・・,n 代入して、n個の等式を辺々加えると左辺の和は ∑(2k+1)=2∑k+∑１となり一方、右辺の和は ∑｛(k+1)^2-k^2}=(n+1)^2-1^2 となる。ゆえに、2∑k+∑1=(n+1)^2-1^2右辺を展開し、∑１=nを右辺に移項すると 2∑k=n(n+1)両辺を２で割ると ∑k=n(n+1)/2。これで最も初歩的な自然数の和を∑を使って証明出来た。

2020/12/01

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単位元・中立元・零元

ティモシー・ガウアーズの「数学」によるとゼロの性質は「０は加法に関する単位元で、任意の a について０＋a=a を満たす」となる。そして、「ゼロの意味など考えず、何を為すかを知ればよい」と述べる。しかし、上記こそゼロの意味なのではないだろうか。ともあれ、そうなると単位元が気になってくる。数学辞典によるとそれは中立元に等しいらしい。そして、中立元とは「集合Sの上の２項演算 • に対して、すべての a∈S について　a•e=e•a=aとなるような e のことらしい。だが、演算が加法の場合、中立元は零元と呼ばれ、それは０である。となると零元も調べないといけない。それは、「集合Sの上の２項演算 • について、すべての a∈S に対して、a•z=z•a=z が成り立つような z 」となる。確かに、a0=0a=0 なので０は実数の乗法の零元である。一方、a+0=0+a=a の場合は加法における中立元と呼ぶ方が適切であるようだ。ということは、単位元には中立元と零元の亜種があり、乗法における０は零元と呼び加法における０は中立元と呼ぶということか。そして、乗法における１も a•1=1•a=a なので中立元の方がしっくりくる。

2020/09/14

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高校数学解法事典 " 整式の計算 "

Quoraの回答で高校数学解法事典なるものがあると知り速攻で買った。ごく初歩的だが、整式の計算方法が早速役立った。普通、2x^2-3x+1と-2x^2+5を足すとき　　　2x^2-3x+1 +) -2x^2 +5 -3x +6 とやる。今まで、一々書くのが面倒だった。しかし、係数だけ書けば良いのだ。つまり、　　　　2,-3, 1 +) -2, 0, 5 0,-3, 6　となる。これなら随分楽だ。ここで気付いたが、ひょっとして、ベクトルの行列表示はここから発展したのではあるまいか。

2020/09/03

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ティモシー・ガウアーズ「数学」”数学的対象”

ティモシー・ガウアーズによると、「数学的対象とは、それが何を為すかによって規定される」となる。一方、ソシュールは、「言語には差異しかない」と言い、ヴィトゲンシュタインは、「語の意味とは、言語のなかでその語がどう使われているかだ」と言った。なるほど。それを人間に演繹すると、「人とは、何を欲し、何を為せるか」となりそうだ。

2020/07/06

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同一法

「小説『浮き雲』の作者は二葉亭四迷である」は正しいが「『浮き雲』の作者は二葉亭四迷である」は、林芙美子も書いているから正しくない。だが、「『坊ちゃん』の作者は漱石である」は、漱石しか書いてないから正しい。つまり、A＝Bが真の時、Bがただ一つしかない場合、B＝Aが成り立つことを「同一法」というらしい。なるほど。単純だが、使えそうだ。今まで、もっぱら、「雨が降っていると天気が悪い」の逆、「天気が悪いと雨が降っている」が、曇りも天気が悪いので成り立たないことを使っていたが、そのバリエーションのひとつだ。

2020/07/04

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宇宙際タイヒミュラー理論（IUT）

京大の望月教授がABC予想の証明に使った宇宙際タイヒミュラー理論（IUT）はどうやら、これまでの理論と格が違うらしい。数学では掛け算や足し算の道具を揃った舞台を宇宙と呼ぶらしい。IUTは無限個の宇宙を繋ぎ合わせる。そして、橋で繋ぐ。橋は足し算や掛け算しか通れない。だが、通る時に自然に存在していた絡み合いが解ける。この辺りがど素人には全くイメージ出来ない。それもそのはず。世界でも１０人程しか分からない。しかも、従来の数学に詳しい人ほど分からない。だが、フィールズ賞受賞者の森重文京大高等研究院長は「多くの未解決問題への道が開くだろう」と語る。それには、リーマン予想も含まれるそうだ。理解者の一人である、英ノッティンガム大のイワン・フェセンコ教授も「IUT理論は数学にパラダイムシフトを引き起こす未来への道しるべだ。数百年語り継がれるだろう」と語ったそうだ。こんな偉大な人物が生まれるのだから日本もまだまだ捨てたものではない。

2020/05/26

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0×(1/0)はなんですか？

「0×(1/0)はなんですか？」という質問にこう答えた。「A／B＝Yという割り算は、逆演算であるA＝BｘYという掛け算と同値です。ところが、A＝BｘYの Bに０を代入すると、Aがすべて０になってしまいます。ですので、A／B＝Yと両立しません。なので、０で割ってはいけないルールになってます。ゆえに、０ｘ（１/０）という式は成立しません」果たしてこれで納得して貰えるのかはなはだ心許ない。しかも、他に回答に、「０／０や１／０」を許すはるかに高度な議論が載っていた。Quoraは高度なサイトだと思っていたが、思った以上に侮れない。

2020/05/19

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松阪和夫「数学読本」”単位ベクトル”

長さが１のベクトルを単位ベクトル（ e ）と呼ぶそうだ。e = 1/| a |・a = a /| a |　と置くと、e は a と同じ向きになる。なるほど。｜a |に向きはないが a には向きがあるのでそうなるのか。ということは、ベクトルをスカラーで割るのはオッケーなのか。待て待て、そもそも、実数倍の所でスカラーを掛けてたから当然か。そして、｜e | = |1/| a |・a |＝１/| a |・｜a | = 1となる。ここで、｜e |は絶対値なので、最後の１は当然スカラーになる訳か。

2020/01/28

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絶対値と引き算

引き算の項の順序を変えても絶対値が変わらないことに疑問を持った。Yahoo知恵袋の回答によると「差が同じだから。３歳違いの人が左に並ぼうが右に並ぼうが差は同じ」とあった。左右の並びの例えはイマイチに腑に落ちないが、差は同じは納得がいく。引き算とは差を示す計算であったか。

2020/01/26

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「虚数の情緒」”電卓誤差”

当然、電卓で循環小数や無理数の無限小数を正確に表示出来ない。場合によって、切り上げ、切り捨て、四捨五入する。ただ、分数の足し算の時は通分してからの方が正確になる。例えば、１／３＋１／７＝１０／２１で答えの１０／２１を電卓で計算すると、０．４７６１９０４７６１９だが、それぞれ先に電卓で計算して足すと０．３３３３３３３３＋０．１４２８５７１４２８５＝０．４７６１９０４７６１８で、末尾に１の誤差が生じる。これほどの正確さが求められるのは理系の科学しか思いつかない。だが、先に手計算が入った分、なにやら人間臭い温もりを感じる。

2020/01/22

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「虚数の情緒」”エジプトの算術”

エジプトの算術は倍増と半減を基本としていたらしい。例えば、１７を１３倍する場合、１７を２倍すれば３４。更に２倍（２＾２＝４）すれば６８、更に２倍（２＾３＝８）で１３６。そして、１３は１＋４＋８と分解出来るので　　１７×１＝　１７　　１７×４＝　６８＋　１７×８＝１３６＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿　　　　　　　２２１　　後、単位分数による表現にこだわったらしい。例えば、４／５は当然１／５＋１／５＋１／５＋１／５だが１／２＋１／５＋１／１０とも書ける。彼らはその方法に徹底的にこだわった。中国の膨大な漢字や英語の分厚い辞書を見ても分かるが人間は一つの方法を得ると、それをとことん発展させるのだろう。そこに保守性と革新性の混合が見える気がする。

2019/12/20

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「数学読本」”√２が無理数であることの証明”

なにやら、√２が無理数であることはピタゴラスが証明したらしい。予め、ｎが偶数ならｎ＾２もまた偶数であることを確認しておく。まず、奇数の二乗もまた奇数だ。奇数はｎとｋをある整数として２ｋ＋１と表せる。ｎ＾２＝（２ｋ＋１）＾２＝４ｋ＾２＋４ｋ＋１＝２（２ｋ＋２ｋ）＋１なので奇数だ。そして、ｎが偶数なら２ｋと表せ、それを二乗すれば４ｋ＾２になるのでｎ＾２も偶数。ここまで準備しておき√２が有理数であるという証明に背理法を使う。もし有理数ならば、√２＝ｍ／ｎ（ｍ、ｎは整数。ｍ／ｎは既約）と表せる。これの両辺にｎを掛け、更に二乗する。すると、２ｎ＾２＝ｍ＾２。左辺の２ｎ＾２は偶数だからｍ＾２も偶数。上記の命題によりｍも偶数。だから、ｍはある整数により、ｍ＝２ｋと表せる。これを、２ｎ＾２＝ｍ＾２に代入し、両辺を２で割るとｎ＾２＝２ｋ＾２。ｎ＾２は偶数で上記の命題によりｎも偶数。ここで、ｍ、ｎ共に偶数になり２という公約数を持ちｍ／ｎが既約であるという仮定に矛盾する。これは、そもそも、√２が有理数であるという仮定から生じた。だから、√２は無理数である。証明を読むと、よく感じるが、なんだかキツネにつままれたような気分になる。しかし、抗い難い。

2019/12/13

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「虚数の情緒」”２進数”

２進数を（　）２で表し、１０進数を（　）１０で表すなら（１）２⇒（１）１０、（１０）２⇒（２）１０、（１１）２⇒（３）１０、（１００）２⇒（４）１０、（１０１）２⇒（５）１０、（１１０）２⇒（６）１０、（１１１）２⇒（７）１０、（１０００）２⇒（８）１０、（１００１）２⇒（９）１０、（１０１０）２⇒（１０）１０、である。つまり、２進数における２が１０進数における１０になっている。１はそのままだ。当然ながら２進数では２を超えると位が上がる。１０進数で１０×１０が１００になるように、２進数では２×２は１０進数的に見ると１００になるようだ。足し算の規則は至ってシンプルで（０）２＋（０）２＝（０）２、（１）２＋（０）２＝（１）２（０）２＋（１）２＝（１）２、（１）２＋（１）２＝（１０）２となる。掛け算も同様にシンプルで（０）２×（０）２＝（０）２、（１）２×（０）２＝（０）２（０）２×（１）２＝（０）２、（１）２×（１）２＝（１）２となる。具体的に１０進数を２進数に変えるには１０進数を２で割る。例えば、１０進数の１５なら１５＝２×７＋１＝２×（２×３＋１）＋１＝２×（２×（２×１＋１）＋１⇒１５＝２×２×２＋２×２＋２×１＋１＝＝２＾３＋２＾２＋２＋１従って、（１５）１０＝（１１１１）２となる。手計算だとやたら面倒だが、コンピュータだと（０）２を回路のオフで、（１）２をオンで表せるので楽勝のようだ。

2019/11/24

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「アメリカ流７歳からの微分積分」”接線の傾き”

y=x^2のグラフにおける接線の傾きを調べる為、まず、(1,1)での接線の傾きを調べる。そこで、(1,1)と(2,2^2)を結ぶ。傾き１～２＝ｙの増加分／ｘの増加分＝(2^2-1^2)/(2-1)=3。次に、(1,1)と(1+(1/2),(1+1/2)^2)を結ぶ線を考える。すると、ｙの増加分／ｘの増加分＝((1+1/2)^2-1^2))/(1+(1/2)-1)=(1+(1/4))/(1/2)=2+(1/2)。同様に((1+(1/3),(1+(1/3))^2)で、解は、2+(1/3)で、((1+(1/4),(1+(1/4)^2)では、2+(1/4)。これを続けると、3,2+(1/2),2+(1/3),2+(1/4),2+(1/5),2+(1/6)・・・・2+hの無限列が現れる。ここで、ｈが無限に０に近づくと２に収束するのが分る。これを式で表すと傾き1~(1+h)=yの増加分／ｘの増加分＝((1+h)^2-1^2)/((1+h)-1)=((1+2h+h^2)-1)/h=2+h。同様に(2,2^2)と(2+h,(2+h)^2)の場合lim h→０((2+h)^2-2^2)/(2+h-2)=lim h→０(4+4h+h^2-4)/hlim h→０(4h+h^2)/h=lim h→０(4+h)=4そして、(3,3^2)と(3+h,(3+h)^2)では６に収束する。つまり、ｘの値が、１、２、３で、接線の傾きが、２，４，６。それぞれ、xの倍になっている。式で表すとx^2の接線の傾き（微分係数）=lim h→０((x+h)^2-x^2)/(x+h)-x =lim h→０(x^2+2hx+h^2-x^2/h =lim h→０(2hx+h^2)/h =lim h→０(2x+h)=2x。つまり、x^2を微分すると2x。式で書くと、(x^2)'=2x。一般式だと、(x^n)'=nx^n-1。どうやら、これがニュートンとライプニッツがそれぞれ独立に発見したことらしい。結果は至ってすっきりしてるが、経過は非常にややこしい。ご法度の０で割ることも巧みに回避している。いや。少々ズルいというべきか。でも、この場合利便性の方が圧倒的に優っている。

2019/11/22

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６６６＝９×７４

二桁同士の掛け算を練習する前段階として二桁と一桁の掛け算を練習している。そこで、９×７４が６６６になって、ちょっと面白かった。より詳しく書くと、「６６６＝２×３＾２×３７」だ。地味な数字の掛け算が派手なゾロ目になっている。（オーメンの数字ともいえる）「縁の下の力持ち」や「白鳥は優雅に泳いでいるように見えて水面下では懸命に水を掻いている」みたいなことを連想する。もっとも、あくまで１０進法での話ではあるが。

2019/11/16

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ベクトルの定義

ベクトルの定義に「平面上の有向線分の向きと長さだけを考え、その位置を無視したとき、それを始点A、終点Bのベクトルと呼ぶ」とあり、注意書きに「”その位置を無視したとき”はいくらか漠然していますが、感覚的にわかりやすく、おそらく読者は、特に気難しい人でなければ、これをすなおに受け入れてくださることでしょう」とあった。そして、もう少し正確な定義として「ベクトルABとは、有向線分ABと向きおよび長さがそれぞれ一致するようなすべての有向線分の集合のことである」あった。そして、こう続けた「しかし、この定義はある意味で抽象的に過ぎます」と。私は「その位置を無視したとき」より、「有向線分ABと向きおよび長さがそれぞれ一致するようなすべての有向線分の集合のことである」の方が圧倒的に分かりやすい。なるほど。私は抽象的過ぎ、気難しい人間だったのだ。道理で普通の人と話が合わない訳だ。

2019/10/28

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分数の割り算

分数同士の割り算は、割る分数の分母と分子を逆にした分数を掛けることになっている。だが、その中に１の変形が潜んでいた。例えば、「1/2割る2/3」なら、そのまま「(1/2)/(2/3)」と考えまず、分母の分母、3を消す為、分母と分子に１の変形である「3/3」を掛ける。すると、「((1x3)/2)/2=(3/2)/2」になる。そして、分子の分母である2を消す為、「2/2」を掛ける。すると、「3/(2x2)=3/4」になる。結局、割られる分数に割る分数の逆を掛けたことになる。

2019/10/26

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ベクトルの内積

ベクトルの内積をA・B＝｜A｜｜B｜cos θ（θ：A,B がなす角）で表すそうだ。それはスカラーだ。しかし、意味が分からなかった。ネットで調べると、物体を角度の付いたロープで引っ張る例が分り易かった。（光の例はよく分からなかった）それによると、物体をA の力で引っ張り、B 移動させると物体に働いた仕事量が内積に等しくなるらしい。なるほど。それなら、ロープの向きが真上になるとθはπ／２になり、cos θはゼロになる。当然、物体は上には持ち上がっても、前方には全く移動しない。

2019/10/11

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関数電卓でのlog計算

ネットに「指数関数と対数関数の違い」という質問が立っていた。逆関数だというのは知っていた。しかし、回答にあった「a ＞０,　 y=a^x ⇔ x=log(a)y y=log(a)x ⇔ x=a^y 」がどうもピンと来なかった。なので、log(2)8=3は知っていたから関数電卓で検算しようとしたらいきなり、log(2)=0.3010...になった。途方にくれてネットで調べたらlog(x)y=log(n)y/log(n)xの変換公式を使うとのことだった。log(8)/log(2)を試すと、ちゃんと、３になった。変換公式の威力を初めて知った。

2019/10/05

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単位ベクトル

「A＝（５、－１２）と同じ向きの単位ベクトルを求めよ」という問題があった。A =13 であることはすぐ分った。さて、そこから長さが「１」である単位ベクトルの成分表示の求め方が分らず答えを見たら、なんのことはない、単純に、A の成分表示である（５、－１２）を１３で割った（５／１３、－１２／１３）だった。いつものように、考えすぎだった。こんな所にも数学センスのなさが出たようだ。念の為、「√（５／１３）＾２＋（－１２／１３）＾２」を計算してみると、ちゃんと「１」になった。

2019/09/30

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アメリカ流７歳からの微分積分「e^πi=-1」

(1+1/n)^nはe（自然対数の底：2.718281828458・・・）に収束する。無限級数で表現するとe=1+1+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!・・・になる。実際、電卓で計算するとn=100で2.7・・・n=10,000で2.718・・・n=100,000,000で2.7182818・・・だ。そして、ニュートンがe^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!・・・を発見した。このxにiaを代入する。（a:ラジアン）するとe^ia=1-a^2/2!+a^4/4!-a^6/6!・・・+i・(a-a^3/3!+a^5/5!・・・)そして、コーツがe^ia=cos a+i・sin aを発見する。次に、aにπを代入するとcos x=-1,sin π＝0だから、e^iπ=-1が導かれる。そして、右辺の-1を左辺に移動させるとe^iπ+1=0となり、数学で重要な数５つが揃い踏みとなる。

2019/08/24

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「マイナス×マイナス＝プラス」

「マイナス×マイナス＝プラス」という法則は昔から議論の対象だったようだ。しかし、それはクーロンの法則によく当てはまった。「F＝e・e'/r^2」（F：荷電粒子間に働く力、e,e':荷電粒子、r:荷電粒子間の距離）この時、eとe'のどちらかがマイナスであれば解はマイナス（引力）になり双方、正負が同じならプラス（斥力）になる。時として、数学の法則は現実を予言することもあるようだ。

2019/07/19

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吉田武「虚数の情緒」”１の変形”

「１の変形」という概念が出て来た。分数の足し算においてだった。分母が違う分数同士は当然通分する。その為、分母同士を掛け、双方の分子にお互いの分母を掛ける。例えば、１／２足す１／３なら（３＋２）／６＝５／６というやつだ。その時、１／２・３／３、そして、１／３・２／２という過程があると考える。そこで出て来る、「３／３」や「２／２」が「１の変形」という訳だ。なるほど。どんな数に「１」を掛けても変わらない性質を利用している。それはそうと、こういう場合、「１」を「単位元」と呼ぶより「中立元」と呼ぶ方が相応しい気がする。

2019/03/20

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遠山啓「数学入門」（等分割り、包含割り）

以前、分数で躓いた等分割りと包含割りが登場した。ひとつのケーキを３人で分けるとひとり当たり１／３になるのが等分割りでひとつのケーキを１／３ずつ分けると何人に与えられるかというのが包含割りらしい。視点が逆になっているといえるだろうか。そして、遠山さんが出した等分割りの例の、「６は何の１／３倍か？」という文に引っ掛かった。この「倍」が曲者だった。普通、「倍」には増える感覚がある。だが、６は１８の１／３倍であり減っている。

2019/03/18

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一次方程式の解法

ブルーバックスの「アメリカ流７歳からの微分積分」に関数当てゲームが載っていた。ｘとｙの値がいくつか載っている表から関数を当てるというゲームだ。なかなか解らなかった問題のひとつの解は２乗和の公式だった。ネットで教えて貰い漸く解ったがそんなもの自力で解るはずもない。もし、自力で解けたら公式を自分で作ったに等しい。そんなことが出来るのは余程数学センスに恵まれた人間だけだろう。それはともかく、最期に残った問題も難しかった。データはｘ＝２１２、ｙ＝１００ｘ＝１２２、ｙ＝５０ｘ＝７７、Ｙ＝２５ｘ＝６８、ｙ＝２０ｘ＝３２、ｙ＝０だった。散々考えても解らなかったので、またネットで聞こうかと思った矢先ふと、一次方程式の解法があったことを思い出した。ｘ＝－b/aというごく簡単なやつだ。計算が簡単になるように小さな値のやつをふたつ使って連立方程式にして解いたら5/9x-160/9になった。実際、挙がっているデータの範囲では合った。まだ、正しい答えなのか確信を持てないが一次方程式の解法を使えたのが嬉しかった。

2019/02/19

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ピタゴラス数

a^2+b^2=c^2を満たす自然数をピタゴラス数と呼ぶらしい。3^2+4^2=5^2が有名だ。一般式が欲しくなるのが人情だ。そこで、(A+B)^2=A^2+2AB+B^2と(A-B)^2=A^2-2AB+B^2というふたつの恒等式に注目する。すると、(A-B)^2に4ABを加えると、(A-B)^2+4AB=(A^2-2AB+B^2)+4AB=A^2+2AB+B^2=(A+B)^2に成ることが分る。そして、a^2+b^2=c^2と比べれば、(A-B)^2+4AB=(A+B)^2の4ABが二乗の形で書ければ、すべての項が二乗の形になることに気付く。そこで、A=m^2,B=n^2と書くと、4AB=4m^2n^2=(2mn)^2に成る。この置き換えを使うと(A-B)^2+4AB=(A+B)^2 ⇒ (m^2-n^2)+(2mn)^2=(m^2+n^2)^2これが、ピタゴラス数の一般式だ。但し、(m＞n)ここで、m=2,n=1なら3^2+4^2=5^2が得られるしm=3,n=2なら5^2+12^2=13^2が得られる。自然数は無限にあるのでピタゴラス数も無限にあるわけだ。

2019/02/05

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平方の和の公式

ブルーバックスの「アメリカ流７歳からの微分積分」に関数当てゲームなるものが載っていた。ｘとｙの値を見て、関数を当てるというものだ。そこで、ｘ＝１、２、３、４、５ｙ＝１、５、１４、３０、５５の場合がいくら考えても解らなかった。昔は、時々、２ちゃんで聞いていた。しかし、私が出入りしていたスレはとうにdat落ちしていた。なにせ、モラルが極めて低い場所なので、馴染みのない場所で聞くとどんな目に遭わされるか分かったものではない。仕方なく、別のＱ＆Ａサイトで聞いてみた。最初に付いた回答では、Σを使っていた。そもそも、小学生くらいが対象の本なのでΣは使っていないだろう。大体、私も習得していないので理解出来ない。次の回答は、「Σを使った式を展開すれば？」と書いてあった。いやいや。私がΣを理解してないことは補足で書いてあるでしょうに。人は、往々にして、細かい所まで読まないものである。しかし、三人目の回答は正しくビンゴだった。どうやら、それは、「平方の和の公式」として有名らしくｙ＝１／６・ｘ（ｘ＋１）（２ｘ＋１）だった。そういえば、以前、Σの章をちらっと勉強した時に見掛けたような気もする。数列の和が、こんな、比較的簡単な式で表せることに驚いたように思う。いずれにせよ、Σはともかく、この公式とぐっと親しくなったようだ。それにしても、Ｑ＆Ａサイトで聞かなければ、一生思い付かなかっただろう。というか。自力でこんな公式を発見出来れば、相当な数学センスの持ち主と言えるだろう。

2019/01/20

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(sinθ)^2+(cosθ)^2＝１

動径が為す角度をθとし、半径ｒの円Ｃと動径の交点の座標を(x,y)とするなら、sinθ＝y/rであり、ｒの長さはピタゴラスの定理により√(x^2+y^2)だから、sinθ=y/√(x^2+y^2)。同様に、cosθ=x/r=x/√(x^2+y^2)。だから、(sinθ)^2+(cosθ)^2=y^2/(x^2+y^2)+x^2/(x^2+y^2)=(x^2+y^2)/(x^2+y^2)=1。更に、半径ｒを１とする単位円なら、交点の座標は（cosθ、sinθ）なので(sinθ)^2＋(cosθ)^2=1は明らか。今まで、(sinθ)^2+(cosθ)^2＝１の式に何か不思議な感じがしていたが消えてしまった。

2018/10/15

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フェルマーの小定理

pを素数とし、aが整数でa≢0(mod p)の時a^p-1≡1 (mod p) 1≦a＜p　が成り立つことをフェルマーの小定理と呼ぶらしい。これは、6^22≡1 (mod 23)であり、6^22-1が23の倍数であることを示す。そして、2^35(mod 7)を計算する場合2^35=2^(6・5+5)=(2^6)^5・2^5≡1^5・2^5≡4 (mod 7)と使える。更に、2^1234566≡899557 (mod 1234567)なので1234567が素数でないことが分かる。なるほど。分かるには分かった。しかし、私が実地に使うことはおそらくないだろう。

2018/08/25

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常用対数とガウスの記号

常用対数の流れでガウスの記号が出て来た。その例のひとつに、－１．２５の整数部分は－１で小数部分は０．２５ではなく、整数部分は－２で、小数部分は０．７５であると書いてあり、なかなか理解出来なかった。そして、もう一度、ガウスの記号が書いてある章に戻って読んでみると、ちゃんと、小数部分は、０≦ｓ＜１と書いてあった。だから、０．２５は、そのままでは－０．２５なので、１足して０．７５にしてやり、整数部分からは１を引いて－２にしないといけないのだ。数学は細部に注意を払ってないと、なかなか先へ進めない。私のようなおっちょこちょいには実に向いてない学問だ。

2018/08/21

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ラジアンの威力

半径 R、中心角 θ（0＜θ＜２π）の扇形の弧の長さをL、面積をSとする。そして、半径 Rの円の周角は２ΠR、面積はΠR^2で、弧の長さも面積も中心角に比例するから、L:２ΠR=θ：2π、S:ΠR^2=θ：2Πが成り立つ。これより、L=Rθ、S=1/2R^2θが得られ、さらにSをLとRで表せばS=1/2R・Rθ=1/2LR。ラジアンを使うことによって扇形の面積が、S=1/2LRという実にすっきりした式で表せた。ラジアンの威力にほんの少し触れた気がした。

2018/08/18

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フラクタル

正三角形の一辺を三等分し真ん中の一辺を底辺とする正三角形を付け加える。その操作を繰り返すと雪に結晶のような図形が出来上がる。その形をフラクタル、あるいは、自己同型と言うらしい。その面積は、1+3/4・[(4/9)+(4/9)^2+(4/9)^3+・・・]となり1・3/5に収束する。一方、周の長さは、1+1/3・[(4/3)^0+(4/3)^1+(4/3)^2+・・・]となり、無限大に発散する。同じ図形の中に有限と無限が存在するのが面白い。まるで、孫悟空がどこまで遠くへ行ってもお釈迦様の掌に乗っていた話や将棋盤やビリヤード台の中で無限のゲームが行われることを連想する。

2018/08/14

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A=C^log c A

A^log c B=B^log c Aを証明する途中で、A=C^log c Aが出て来た。最初、よく分からなかった。しかし、暫く考えてみると、Cを、Cを何乗すればAなるかという数、つまり、Cを底とするAの対数でべき乗すればAになるのは当然だ。数学センスのある人にとっては自明かもしれない。だが、ニクいテクニックだと感じた。

2018/07/11

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常用対数の応用　２

1.06^n ＞2となる最小の整数nを求めよという問題があった。まず、両辺の常用対数をとる。すると、n log 10 1.06 ＞0.3010だ。そして、log 10 1.06=0.0253だから左辺は、n・0.0253だから、n=0.3010/0.0253　でn ≒ 11.90ゆえに、n =12。これも関数電卓があれば楽勝だ。しかし、対数表と普通の電卓だけだと、かなり、面倒だろう。常用対数の威力が少し分った。

2018/07/04

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常用対数の応用

常用対数の章で、2^30と3^20の大小を比べよという例題が載っていた。まず、log 10 2≒0.3010, log 10 3≒0.4771 は分っているものとする。すると、log 10 2^30=30log 10 2≒9.03, log 10 3^20=20log 10 3≒9.54となる。だから、2^30＜3^20。勿論、関数電卓があれば一発だし、暗算では無理なので普通の電卓は必要だ。でも、常用対数の威力をほんの少しだけ感じられた。

2018/06/27

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ℵ０

無限に濃度の概念を取り入れたのはカントールらしい。例えば、奇数も偶数も自然数によって番号を付けられるから同じ濃度を持つと考える。それを、ℵ０（アレフゼロ）と呼ぶ。そこでは、部分と全体が一致するという摩訶不思議な現象が起きる。そこが無限の深みだろう。なにやら、ブレイクによる詩の一節「一粒の砂に世界を見る」を連想する。

2018/06/19

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